Uma esfera oca, isolante, de raio R e carga Q é colocada nas proximidades de uma placa plana muito grande cuja densidade superficial de carga é sigma (uniforme). A distância entre a placa e a superfície da esfera é d. Qual a diferença de potencial entre o centro da esfera e a placa? (Calcule a ddp devido a cada objeto separadamente e some os resultados. A diferença de potencial entre dois pontos pode ser determinada a partir do campo elétrico: De<a phi= integral E cdot d r).

Passo 1

O enunciado pede a diferença de potencial entre o centro da esfera (ponto C) e a placa (ponto P), com uma esfera oca isolante de raio R e carga total Q cuja casca fica “pendurada” a uma distância d da placa infinita, de densidade superficial sigma. Vamos usar linearidade: calcular De<aphi devido à esfera e devido à placa separadamente e depois somar.

Passo 2

Potencial no interior de uma casca esférica isolante (ou condutora) de raio R e carga Q é uniforme e vale
phirm esfera(C) ;=;14pivarepsilon0,QR
se tomarmos o potencial nulo no infinito.

Passo 3

O campo elétrico de uma placa infinita de carga superficial sigma é constante em módulo e vale
Erm placa=sigma2varepsilon0
com direção perpendicular à placa. Para calcular a diferença de potencial entre a placa (ponto P) e o centro da esfera (ponto C), integramos
De<aphirm placa=phirm placato C =-integralP^Cvec Ecdot dvec r
Como a distância de P até C é d+R e vec E é constante, temos
De<aphirm placa =-Erm placa,(d+R) =-sigma2varepsilon0,(d+R)

Passo 4

Como a superposição vale para potenciais, a diferença de potencial total entre C e P é
De<aphi =phi(C)-phi(P) =phirm esfera(C)+De<aphirm placa =14pivarepsilon0,QR ;-;sigma2varepsilon0,(d+R)

Resposta

boxed phi(C)-phi(P) =14pivarepsilon0,QR ;-;sigma2varepsilon0,(d+R)

Exercícios relacionados