Um objeto se move em linha reta com sua posição descrita pela equação:
x(t)=t^3-9 t+3
onde:
  • x é a posição em metros
  • t é o tempo em segundos
Determine o instante de tempo t mais próximo da origem (t=0) quando o objeto passa pela posição x=0, utilizando o Método do Ponto Fixo com tolerância epsilon=10^-3.
(a) Reescreva a equação t^3-9 t+3=0 na forma t=phi(t) adequada para iteração.
(b) Apresente o resultado final com 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá a posição
x(t)=t^3-9t+3
e pede o instante t mais próximo de 0 tal que x(t)=0, usando o Método do Ponto Fixo com epsilon=10^-3.
O conteúdo é método iterativo para encontrar raízes, e vamos precisar (i) reescrever a equação na forma t=phi(t) e (ii) iterar até |tn+1-tn|<epsilon.

Passo 2

Partimos de
t^3-9t+3=0
e isolamos t:
t = t^3+39
Definimos, portanto,
phi(t)=t^3+39
Para assegurar convergência, notamos que
phi'(t)=3t^29=t^23,
e para t próximo da raiz (aprox. 0,33) tem-se |phi'(t)|<1, logo é um contração.

Passo 3

Usamos a iteração
tn+1=phi(tn)
com chute inicial t0=0, e paramos quando |tn+1-tn|<10^-3.

Passo 4

Calculamos:
t0=0,
t1=0^3+39=0,3333333,
t2=(0,3333333)^3+39approx0,3374486,
t3=(0,3374486)^3+39approx0,3376040
Como
|t3-t2|approx0,000155<0,001,
atingimos a tolerância.

Resposta

(a) phi(t)=t^3+39
(b) tapprox0,3376 s

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