Questão 2 ( 3,0 pontos) A velocidade de uma partícula é dada por
, onde v está em metros por segundo e t em segundos. (a) Calcule a aceleração média no intervalo
; (b) Determine a expressão para a aceleração instantânea
; (c) Faça os gráficos de
e
no intervalo
; (d) Calcule a posição da partícula em função do tempo
. Considere
para
Em que instante a partícula retorna?
Passo 1
Nesse exercício a velocidade da partícula é dada por
(m/s) e precisamos:
- Calcular a aceleração média entre
s e s. - Determinar a aceleração instantânea
. - Fazer os gráficos de
e para . - Encontrar a posição
sabendo que m. - Descobrir em que instante a partícula retorna ao ponto inicial.
Matéria: Cálculo — variação média (aceleração média), derivada (aceleração instantânea), integral (posição) e interpretação de gráficos.
Passo 2
Para (1), aceleração média é a variação de velocidade sobre a variação de tempo:
Calcula:
Logo
Passo 3
Para (2), aceleração instantânea é a derivada de
:
Em
, usamos a regra
:
-
, -
.
Então
Passo 4
Para (3), gráficos entre
e
:
-
é uma parábola aberta para baixo.
• Zeros eme ( ).
• Vértice em, com .
• Em, . -
é uma reta decrescente.
• Em, ; em , ; em , .
Basta esboçar: parabólica parae reta para .
Passo 5
Para (4), posição é integral de
:
Como
, fica
. Então
Passo 6
Para (5), “retorna ao ponto inicial” significa
:
Soluções:
(início) e
s. O retorno ocorre em
s.
Resposta
(a)
(b)
(c) : parábola com vértice em
e raízes em
;
\quad : reta decrescente ligando
a
.
(d)
(e)
(b)
(c)
\quad
(d)
(e)