Questão 2 ( 3,0 pontos) A velocidade de uma partícula é dada por v(t)=6 t-3 t^2 m / s, onde v está em metros por segundo e t em segundos. (a) Calcule a aceleração média no intervalo 1 <= t <= 4 s; (b) Determine a expressão para a aceleração instantânea a(t); (c) Faça os gráficos de v(t) e a(t) no intervalo 0 <= t <= 4 s; (d) Calcule a posição da partícula em função do tempo x(t). Considere x0=8 m para t0=0 s (e) Em que instante a partícula retorna?

Passo 1

Nesse exercício a velocidade da partícula é dada por v(t)=6t-3t^2 (m/s) e precisamos:
  1. Calcular a aceleração média entre t=1 s e t=4 s.
  2. Determinar a aceleração instantânea a(t).
  3. Fazer os gráficos de v(t) e a(t) para 0<= t<=4.
  4. Encontrar a posição x(t) sabendo que x(0)=8 m.
  5. Descobrir em que instante a partícula retorna ao ponto inicial.
    Matéria: Cálculo — variação média (aceleração média), derivada (aceleração instantânea), integral (posição) e interpretação de gráficos.

Passo 2

Para (1), aceleração média é a variação de velocidade sobre a variação de tempo:
arm média=De<a vDe<a t=v(4)-v(1)4-1 é
Calcula:
v(1)=6cdot1-3cdot1^2=3 m/s, v(4)=6cdot4-3cdot4^2=-24 m/s
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arm média=-24-33=-9 m/s^2 é

Passo 3

Para (2), aceleração instantânea é a derivada de v(t):
a(t)=dvdt
Em v(t)=6t-3t^2, usamos a regra ddt(at^n)=a,n,t^n-1:
  • ddt(6t)=6,
  • ddt(-3t^2)=-6t.
    Então
a(t)=6-6t

Passo 4

Para (3), gráficos entre 0 e 4:
  • v(t)=6t-3t^2 é uma parábola aberta para baixo.
    • Zeros em t=0 e t=2 ( 3t(2-t)=0).
    • Vértice em t=-tfracb2a=1, com v(1)=3.
    • Em t=4, v(4)=-24.
  • a(t)=6-6t é uma reta decrescente.
    • Em t=0, a=6; em t=1, a=0; em t=4, a=-18.
    Basta esboçar: parabólica para v(t) e reta para a(t).

Passo 5

Para (4), posição é integral de v(t):
x(t)=integral(6t-3t^2),dt=3t^2 - t^3 + C
Como x(0)=8, fica C=8. Então
x(t)=3t^2 - t^3 + 8

Passo 6

Para (5), “retorna ao ponto inicial” significa x(t)=8:
3t^2 - t^3 +8 = 8 ;Longrightarrow; 3t^2 - t^3 = 0 ;Longrightarrow; t^2(3-t)=0
Soluções: t=0 (início) e t=3 s. O retorno ocorre em t=3 s.

Resposta

(a) -9 m/s^2
(b) a(t)=6-6t m/s^2
(c) v(t): parábola com vértice em (1,3) e raízes em t=0,2;
\quad a(t): reta decrescente ligando (0,6) a (4,-18).
(d) x(t)=3t^2 - t^3 + 8 m
(e) t=3 s

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