Il Uma esfera oca de metal tem raio interno a e raio externo b. Ela contém +2 Q de carga. Uma carga puntiforme +Q está posicionada no centro da esfera oca.
a. Determine o campo elétrico nas três regiões r <= a, a<r<b e r >= b.
b. Que quantidade de carga está distribuída na superfície interior da esfera oca? E sobre sua superfície exterior?

Passo 1

O enunciado apresenta uma casca esférica condutora oca com raio interno a, raio externo b e carga total no metal de +2Q. No centro da cavidade há uma carga puntiforme +Q. O conteúdo principal é aplicar a Lei de Gauss em simetria esférica e as propriedades de um condutor em equilíbrio eletrostático (campo nulo no interior do metal, redistribuição de cargas nas superfícies).

Passo 2

Analisando a região r <= a (interior da cavidade): a única carga dentro de uma superfície gaussiana esférica de raio r é a carga puntiforme +Q. Pela Lei de Gauss:
oint Ecdot dA = Qintvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r),4pi r^2 = Qvarepsilon0
Portanto,
E(r) = 14pivarepsilon0,Qr^2 para r<= a,
sempre radial para fora.

Passo 3

Na região a<r<b (dentro do metal): em equilíbrio eletrostático o campo interno de um condutor é nulo. Logo,
E(r) = 0 para a<r<b

Passo 4

Para r>= b (fora da casca): uma superfície gaussiana de raio r engloba a carga +Q no centro mais toda a carga metálica +2Q. Assim, o total interno é Qint=Q+2Q=3Q. Pela Lei de Gauss:
E(r),4pi r^2 = 3Qvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = 14pivarepsilon0,3Qr^2 para r>= b

Passo 5

Para determinar as cargas nas superfícies do metal, usamos que o campo dentro do metal é zero. Se fazemos uma superfície gaussiana entre r=a e r=b, o total de carga interna deve ser zero. Já temos +Q no centro, então deve haver -Q na superfície interna ( r=a) para cancelar:
Qinterna = -Q

Passo 6

Como a carga total no metal é +2Q e já colocamos -Q na superfície interna, a superfície externa ( r=b) fica com
Qexterna = (+2Q) - (-Q) = +3Q

Resposta

a. Campo elétrico radialmente simétrico:
E(r) = dfrac14pivarepsilon0,dfracQr^2, & r <= a,[6pt] 0, & a<r<b,[6pt] dfrac14pivarepsilon0,dfrac3Qr^2, & r>= b
b. Carga na superfície interna: -Q.
Carga na superfície externa: +3Q.]

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