Exercicio
A densidade em qualquer ponto da lâmina semicircular é proporcional à distância ao centro do círculo. Determine o centro de massa da lâmina.

Passo 1

O enunciado: temos uma lâmina semicircular de raio R cuja densidade em cada ponto é proporcional à distância r ao centro do círculo. Queremos achar o centro de massa dessa lâmina. O conteúdo envolve cálculo de centro de massa de um corpo com densidade variável e uso de coordenadas polares.

Passo 2

Para tratar a densidade variável, adotamos coordenadas polares (r,θ) com origem no centro do círculo e eixo y apontando para cima. A densidade é ρ(r)=k,r, onde k é constante de proporcionalidade. O elemento de área em polares é dA=r,dr,dθ. Assim:

Passo 3

dm=ρ(r),dA = k,rcdot (r,dr,dθ)=k,r^2,dr,dθ

Passo 4

O próximo passo é calcular a massa total M da lâmina integrando dm sobre toda a região semicircular ( 0<= θ<= π, 0<= r<= R):

Passo 5

M=integral0^πintegral0^R k,r^2,dr,dθ = kl(integral0^π dθr)l(integral0^R r^2 drr) = k,π,R^33

Passo 6

Agora calculamos a coordenada ycm do centro de massa:

Passo 7

ycm=1Mintegral y,dm=1Mintegral0^πintegral0^R (rsinθ),k,r^2,dr,dθ

Passo 8

A parte angular e radial se separam:

Passo 9

integral0^πsinθ,dθ=2, integral0^R r^3,dr=R^44

Passo 10

Logo o numerador fica:

Passo 11

integral y,dm = kcdot2cdotR^44=k,R^42

Passo 12

Substituindo em ycm e usando o valor de M:

Passo 13

ycm=k,R^4/2k,π,R^3/3 = 3R2π

Passo 14

Pelo fato de a lâmina ser simétrica em relação ao eixo y, a coordenada xcm vale zero.

Resposta

(0,,3R2pi)

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