Exercicio
A densidade em qualquer ponto da lâmina semicircular é proporcional à distância ao centro do círculo. Determine o centro de massa da lâmina.
A densidade em qualquer ponto da lâmina semicircular é proporcional à distância ao centro do círculo. Determine o centro de massa da lâmina.
Passo 1
O enunciado: temos uma lâmina semicircular de raio
cuja densidade em cada ponto é proporcional à distância
ao centro do círculo. Queremos achar o centro de massa dessa lâmina. O conteúdo envolve cálculo de centro de massa de um corpo com densidade variável e uso de coordenadas polares.
Passo 2
Para tratar a densidade variável, adotamos coordenadas polares
com origem no centro do círculo e eixo
apontando para cima. A densidade é
, onde
é constante de proporcionalidade. O elemento de área em polares é
. Assim:
Passo 3
Passo 4
O próximo passo é calcular a massa total
da lâmina integrando
sobre toda a região semicircular (
,
):
Passo 5
Passo 6
Agora calculamos a coordenada
do centro de massa:
Passo 7
Passo 8
A parte angular e radial se separam:
Passo 9
Passo 10
Logo o numerador fica:
Passo 11
Passo 12
Substituindo em
e usando o valor de
:
Passo 13
Passo 14
Pelo fato de a lâmina ser simétrica em relação ao eixo
, a coordenada
vale zero.