Exercicio
Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina que ocupa a regiāo
limitada por
e
de modo que a densidade é
.
Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina que ocupa a regiāo
Passo 1
Vamos estudar uma lâmina com densidade variável e encontrar sua massa e centro de massa. O conteúdo aqui é integração dupla para cálculo de massa e coordenadas do centro de massa em uma região do plano.
Passo 2
Primeiro, descrevemos a região D. Ela é limitada por y = x² (curva inferior) e y = x + 2 (curva superior). Resolviendo x² = x + 2, temos x² − x − 2 = 0, ou seja, x = −1 e x = 2. Portanto, a variação de x é de −1 a 2 e, para cada x, y varia de x² até x + 2.
Passo 3
A massa m da lâmina é dada por m = ∬_D ρ(x,y) dA, com ρ(x,y) = 2y. Logo montamos a integral
Passo 4
Passo 5
Resolvendo a integral interna:
Passo 6
Passo 7
Assim
Passo 8
Passo 9
Para encontrar \bar{x}, usamos \bar{x} = \frac{1}{m} ∬_D x ρ(x,y) dA = \frac{1}{m} \int_{-1}{2}\int_{x2}^{x+2}2x y,dy,dx. Depois de calcular as integrais, obtemos \bar{x} = \tfrac{25}{32}.
Passo 10
Para \bar{y}, usamos \bar{y} = \frac{1}{m} ∬_D y ρ(x,y) dA = \frac{1}{m} \int_{-1}{2}\int_{x2}{x+2}2y2,dy,dx. Fazendo as contas, chegamos a \bar{y} = \tfrac{235}{112}.
Passo 11
Portanto, temos massa e coordenadas do centro de massa da lâmina.
Resposta
m = \frac{72}{5}, \quad (\bar{x},\bar{y}) = \Bigl(\tfrac{25}{32},\tfrac{235}{112}\Bigr)