Exercicio
Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina que ocupa a regiāo D limitada por y=x^2 e y=x+2 de modo que a densidade é rho(x, y)=2 y.

Passo 1

Vamos estudar uma lâmina com densidade variável e encontrar sua massa e centro de massa. O conteúdo aqui é integração dupla para cálculo de massa e coordenadas do centro de massa em uma região do plano.

Passo 2

Primeiro, descrevemos a região D. Ela é limitada por y = x² (curva inferior) e y = x + 2 (curva superior). Resolviendo x² = x + 2, temos x² − x − 2 = 0, ou seja, x = −1 e x = 2. Portanto, a variação de x é de −1 a 2 e, para cada x, y varia de x² até x + 2.

Passo 3

A massa m da lâmina é dada por m = ∬_D ρ(x,y) dA, com ρ(x,y) = 2y. Logo montamos a integral

Passo 4

m = integralx=-1^2integraly=x^2^x+2 2y,dy,dx

Passo 5

Resolvendo a integral interna:

Passo 6

integraly=x^2^x+22y,dy = l[y^2r]y=x^2^y=x+2 = (x+2)^2 - x^4

Passo 7

Assim

Passo 8

m = integral-1^2l((x+2)^2 - x^4r),dx = 725

Passo 9

Para encontrar \bar{x}, usamos \bar{x} = \frac{1}{m} ∬_D x ρ(x,y) dA = \frac{1}{m} \int_{-1}{2}\int_{x2}^{x+2}2x y,dy,dx. Depois de calcular as integrais, obtemos \bar{x} = \tfrac{25}{32}.

Passo 10

Para \bar{y}, usamos \bar{y} = \frac{1}{m} ∬_D y ρ(x,y) dA = \frac{1}{m} \int_{-1}{2}\int_{x2}{x+2}2y2,dy,dx. Fazendo as contas, chegamos a \bar{y} = \tfrac{235}{112}.

Passo 11

Portanto, temos massa e coordenadas do centro de massa da lâmina.

Resposta

m = \frac{72}{5}, \quad (\bar{x},\bar{y}) = \Bigl(\tfrac{25}{32},\tfrac{235}{112}\Bigr)

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