Uma esfera oca não carregada e não condutora de raio de
envolve uma carga de
localizada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Uma broca de raio de
é alinhada ao longo do eixo
e um furo é aberto na esfera. Calcule o fluxo elétrico através do orifício.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma esfera oca, não carregada e não condutora com raio de 10 cm que envolve uma carga de
na origem de um sistema de coordenadas. Tem também um furo na esfera com raio de 1 mm alinhado ao longo do eixo
. A gente precisa descobrir qual é o fluxo elétrico passando por esse furo.
Vamos usar conceitos de Lei de Gauss e fluxo elétrico. Precisamos entender como o fluxo elétrico se distribui em relação à presença desse furo na esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. O fluxo elétrico (
) através de uma superfície é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam por essa superfície. Matematicamente, é dado por:
onde
é o campo elétrico e
é um elemento de área na superfície.
Passo 3
A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada que envolve uma carga
é:
onde
é a constante de permissividade do vácuo (
).
No nosso caso, a esfera tem um furo, então não é uma superfície fechada. Precisamos calcular apenas o fluxo que passa por esse furo.
Passo 4
Para isso, vamos pensar no furo como uma pequena área na superfície da esfera. O fluxo elétrico através do furo vai depender de quanta área está sendo “cortada” pelas linhas de campo elétrico que emanam da carga.
Uma maneira de visualizar isso é usar o conceito de ângulo sólido. O ângulo sólido (
) é uma medida bidimensional da extensão de uma superfície vista de um ponto. O fluxo através do furo pode ser calculado proporcionalmente ao ângulo sólido que o furo subtende à carga.
Passo 5
A relação entre o fluxo total e o fluxo através do furo é dada por:
onde
é o ângulo sólido total em uma esfera completa. Assim, precisamos calcular o ângulo sólido subtendido pelo furo.
Passo 6
Para calcular o ângulo sólido
de um círculo de raio
a uma distância
, usamos a fórmula:
onde
é o ângulo subtendido pelo raio do furo. Podemos encontrar
pela relação:
No nosso caso,
e
.
Passo 7
Calculando
:
Agora, calculamos
:
(sr = esterradianos, unidade de ângulo sólido)
Passo 8
Agora, aplicamos a relação do fluxo através do furo:
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
Passo 9
Multiplicando os dois resultados:
Resposta
O fluxo elétrico através do orifício é aproximadamente
.