Uma esfera oca não carregada e não condutora de raio de 10,0 cm envolve uma carga de 10,0 mu C localizada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Uma broca de raio de 1,00 mm é alinhada ao longo do eixo z e um furo é aberto na esfera. Calcule o fluxo elétrico através do orifício.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma esfera oca, não carregada e não condutora com raio de 10 cm que envolve uma carga de 10,0 , muC na origem de um sistema de coordenadas. Tem também um furo na esfera com raio de 1 mm alinhado ao longo do eixo z. A gente precisa descobrir qual é o fluxo elétrico passando por esse furo.
Vamos usar conceitos de Lei de Gauss e fluxo elétrico. Precisamos entender como o fluxo elétrico se distribui em relação à presença desse furo na esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo elétrico. O fluxo elétrico ( PhiE) através de uma superfície é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam por essa superfície. Matematicamente, é dado por:
PhiE = oint E cdot dA
onde E é o campo elétrico e dA é um elemento de área na superfície.

Passo 3

A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada que envolve uma carga Q é:
PhiE = Qvarepsilon0
onde varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo ( approx 8,85 times 10^-12 , C^2/N cdot m^2).
No nosso caso, a esfera tem um furo, então não é uma superfície fechada. Precisamos calcular apenas o fluxo que passa por esse furo.

Passo 4

Para isso, vamos pensar no furo como uma pequena área na superfície da esfera. O fluxo elétrico através do furo vai depender de quanta área está sendo “cortada” pelas linhas de campo elétrico que emanam da carga.
Uma maneira de visualizar isso é usar o conceito de ângulo sólido. O ângulo sólido ( Omega) é uma medida bidimensional da extensão de uma superfície vista de um ponto. O fluxo através do furo pode ser calculado proporcionalmente ao ângulo sólido que o furo subtende à carga.

Passo 5

A relação entre o fluxo total e o fluxo através do furo é dada por:
Phifuro = PhiE times Omega4pi
onde 4pi é o ângulo sólido total em uma esfera completa. Assim, precisamos calcular o ângulo sólido subtendido pelo furo.

Passo 6

Para calcular o ângulo sólido Omega de um círculo de raio r a uma distância R, usamos a fórmula:
Omega = 2pi (1 - costheta )
onde theta é o ângulo subtendido pelo raio do furo. Podemos encontrar costheta pela relação:
costheta = RraizR^2 + r^2
No nosso caso, R = 10 , cm e r = 0,1 , cm.

Passo 7

Calculando costheta:
costheta = 10raiz10^2 + 0,1^2 = 10raiz100 + 0,01 approx 1010,00005 approx 0,999995
Agora, calculamos Omega:
Omega = 2pi (1 - 0,999995) = 2pi times 0,000005 approx 3,1416 times 0,00001 = 0,000031416 , sr
(sr = esterradianos, unidade de ângulo sólido)

Passo 8

Agora, aplicamos a relação do fluxo através do furo:
Phifuro = Qvarepsilon0 times Omega4pi = 10 times 10^-68,85 times 10^-12 times 0,0000314164pi
Primeiro, calculamos Qvarepsilon0:
10 times 10^-68,85 times 10^-12 approx 1,13 times 10^6 , V cdot m
Depois, calculamos Omega4pi:
0,0000314164pi approx 0,00003141612,5664 approx 2,5 times 10^-6

Passo 9

Multiplicando os dois resultados:
Phifuro approx 1,13 times 10^6 times 2,5 times 10^-6 approx 2,83 , N cdot m^2/C

Resposta

O fluxo elétrico através do orifício é aproximadamente 2,83 , N cdot m^2/C.

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