Uma linha de carga tem origem em x=+x0 e se estende ao infinito positivo. A densidade de carga linear é lambda=lambda0 x0 / x, onde lambda0 é uma constante. Determine o campo elétrico na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma linha de carga que começa em $ x = +x_0 $ e se estende até o infinito na direção positiva do eixo x. A densidade de carga linear é dada por $ \lambda = \frac{\lambda_0 x_0}{x} $, onde $ \lambda_0 $ é uma constante. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o campo elétrico na origem desse sistema.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula para o campo elétrico devido a uma distribuição linear de carga. Vamos precisar integrar as contribuições de cada pedacinho de carga ao longo da linha para encontrar o campo total na origem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o campo elétrico devido a um elemento de carga $ dq $ a uma distância $ r $:
dq
Aqui, $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, $ dq $ é uma pequena quantidade de carga, $ r $ é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o campo (no caso, a origem), e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.

Passo 3

No nosso caso, a carga está distribuída ao longo do eixo x, de $ x_0 $ até $ +\infty $. A densidade de carga linear é $ \lambda = \frac{\lambda_0 x_0}{x} $, então uma pequena quantidade de carga $ dq $ em um intervalo $ dx $ é:
x0
A distância $ r $ do elemento de carga $ dq $ até a origem é simplesmente $ x $, já que estamos no eixo x.

Passo 4

Agora, substituímos $ dq $ e $ r $ na expressão do campo elétrico:
dq
Como a carga está sempre à direita da origem, o campo elétrico devido a cada elemento de carga vai apontar na direção negativa do eixo x.

Passo 5

Para encontrar o campo elétrico total na origem, integramos $ dE $ de $ x_0 $ até $ +\infty $:
dE

Passo 6

Vamos resolver a integral:
E = lambda0 x04piepsilon0 integralx0^+infty 1x^3 , dx
A integral de $ \frac{1}{x^3} $ é:
1x^3
Aplicando os limites de integração:
integral 1x^3 , dx = -12x^2 + C

Passo 7

Calculando os limites:
No limite superior $ x \to +\infty $, $ -\frac{1}{2x^2} \to 0 $.
No limite inferior $ x = x_0 $:
x to +infty
Então:
-12x^2 to 0
Como o campo aponta na direção negativa do eixo x, consideramos o sinal negativo:
x = x0

Resposta

O campo elétrico na origem é:
E = -lambda08piepsilon0 x0 , i

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