Uma linha de carga tem origem em
e se estende ao infinito positivo. A densidade de carga linear é
, onde
é uma constante. Determine o campo elétrico na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma linha de carga que começa em $ x = +x_0 $ e se estende até o infinito na direção positiva do eixo x. A densidade de carga linear é dada por $ \lambda = \frac{\lambda_0 x_0}{x} $, onde $ \lambda_0 $ é uma constante. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o campo elétrico na origem desse sistema.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula para o campo elétrico devido a uma distribuição linear de carga. Vamos precisar integrar as contribuições de cada pedacinho de carga ao longo da linha para encontrar o campo total na origem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o campo elétrico devido a um elemento de carga $ dq $ a uma distância $ r $:
Aqui, $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, $ dq $ é uma pequena quantidade de carga, $ r $ é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o campo (no caso, a origem), e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.
Passo 3
No nosso caso, a carga está distribuída ao longo do eixo x, de $ x_0 $ até $ +\infty $. A densidade de carga linear é $ \lambda = \frac{\lambda_0 x_0}{x} $, então uma pequena quantidade de carga $ dq $ em um intervalo $ dx $ é:
A distância $ r $ do elemento de carga $ dq $ até a origem é simplesmente $ x $, já que estamos no eixo x.
Passo 4
Agora, substituímos $ dq $ e $ r $ na expressão do campo elétrico:
Como a carga está sempre à direita da origem, o campo elétrico devido a cada elemento de carga vai apontar na direção negativa do eixo x.
Passo 5
Para encontrar o campo elétrico total na origem, integramos $ dE $ de $ x_0 $ até $ +\infty $:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
A integral de $ \frac{1}{x^3} $ é:
Aplicando os limites de integração:
Passo 7
Calculando os limites:
No limite superior $ x \to +\infty $, $ -\frac{1}{2x^2} \to 0 $.
No limite inferior $ x = x_0 $:
Então:
Como o campo aponta na direção negativa do eixo x, consideramos o sinal negativo:
Resposta
O campo elétrico na origem é: