A esfera da questão anterior foi descarregada e, então, envolvida por uma casca esférica condutora com raio 2 R, formando um capacitor esférico. Supondo que há vácuo entre os dois condutores e que um agente externo carrega o capacitor de modo que a casca apresenta carga líquida +q e a esfera apresenta carga líquida -q, escreva uma expressão para a capacitância desse capacitor esférico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um capacitor esférico, que é basicamente duas esferas concêntricas onde uma tem carga positiva e a outra negativa. Aqui, temos uma esfera interior com raio $ R $ e carga $ -q $, e uma casca esférica exterior com raio $ 2R $ e carga $ +q $. O ambiente entre elas é vácuo. Nosso objetivo é encontrar a capacitância desse capacitor esférico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Coulomb e a definição de capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. Capacitância ($ C $) é uma medida de quanto de carga um capacitor consegue armazenar por unidade de diferença de potencial (voltagem) entre seus condutores. A fórmula básica é:
C
onde $ Q $ é a carga e $ V $ é a diferença de potencial.

Passo 3

No caso de um capacitor esférico, temos duas esferas concêntricas. A diferença de potencial entre elas pode ser calculada usando a Lei de Coulomb, que nos diz que o potencial elétrico devido a uma carga $ q $ a uma distância $ r $ é:
q
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Para o nosso capacitor esférico, vamos calcular a diferença de potencial entre a casca exterior ($ r = 2R r = 2R r = R $).
Primeiro, o potencial na esfera interior devido à carga $ -q $ é:
r = R
E o potencial na casca exterior devido à carga $ +q $ é:
-q

Passo 5

A diferença de potencial $ V $ entre as duas esferas é a diferença entre $ V_{exterior} $ e $ V_{interior} $:
V
Simplificando:
Vexterior

Passo 6

Agora, usamos a definição de capacitância:
C = QV = q14pivarepsilon0 cdot 3q2R = q cdot 4pivarepsilon0 cdot 2R3q = 8pivarepsilon0 R3

Resposta

A capacitância do capacitor esférico é dada por:
C = 8 pi varepsilon0 R3

Exercícios relacionados