A esfera da questão anterior foi descarregada e, então, envolvida por uma casca esférica condutora com raio
, formando um capacitor esférico. Supondo que há vácuo entre os dois condutores e que um agente externo carrega o capacitor de modo que a casca apresenta carga líquida
e a esfera apresenta carga líquida
, escreva uma expressão para a capacitância desse capacitor esférico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um capacitor esférico, que é basicamente duas esferas concêntricas onde uma tem carga positiva e a outra negativa. Aqui, temos uma esfera interior com raio $ R $ e carga $ -q $, e uma casca esférica exterior com raio $ 2R $ e carga $ +q $. O ambiente entre elas é vácuo. Nosso objetivo é encontrar a capacitância desse capacitor esférico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Coulomb e a definição de capacitância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. Capacitância ($ C $) é uma medida de quanto de carga um capacitor consegue armazenar por unidade de diferença de potencial (voltagem) entre seus condutores. A fórmula básica é:
onde $ Q $ é a carga e $ V $ é a diferença de potencial.
Passo 3
No caso de um capacitor esférico, temos duas esferas concêntricas. A diferença de potencial entre elas pode ser calculada usando a Lei de Coulomb, que nos diz que o potencial elétrico devido a uma carga $ q $ a uma distância $ r $ é:
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Para o nosso capacitor esférico, vamos calcular a diferença de potencial entre a casca exterior ($ r = 2R
r = R $).
Primeiro, o potencial na esfera interior devido à carga $ -q $ é:
E o potencial na casca exterior devido à carga $ +q $ é:
Passo 5
A diferença de potencial $ V $ entre as duas esferas é a diferença entre $ V_{exterior} $ e $ V_{interior} $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, usamos a definição de capacitância:
Resposta
A capacitância do capacitor esférico é dada por: