Verifique se a função dada é uma solução para equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se uma função específica é solução de uma equação diferencial. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre verificação de soluções para equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar derivar a função dada e comparar com a expressão da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que uma função seja solução da equação diferencial dada. A equação é:
Isso significa que, para a função $ y(x) $ ser solução, a derivada de $ y $ em relação a $ x $ deve ser igual a $ \sqrt{\frac{y}{x}} $ para todo $ x > 0 $.
Passo 3
A função que precisamos verificar é:
Aqui, $ c_1 $ é uma constante, e $ x > 0 $.
Passo 4
Para verificar se $ y $ é uma solução, vamos primeiro calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Mas antes disso, note que $ y $ está expressa em termos de uma constante $ c_1 $, e não diretamente em função de $ x $. Isso sugere que $ y $ é uma solução para uma condição específica.
No entanto, para seguir com o exercício, assumiremos que $ c_1 $ pode depender de $ x $, ou seja, $ c_1 = c_1(x) $. Assim, usando a regra da cadeia, a derivada de $ y $ será:
Passo 5
Agora, vamos substituir $ y $ na equação diferencial:
Simplificando o lado direito:
Então, temos:
Passo 6
Podemos cancelar $ \sqrt{2} + c_1 $ dos dois lados (desde que não seja zero, o que é garantido porque $ c_1 > 0 $ e $ \sqrt{2} > 0 $):
Então, isolando $ \frac{dc_1}{dx} $:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar $ c_1 $ em função de $ x $:
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ c_1 $. Do lado direito, temos:
Então:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Substituindo $ c_1 $ de volta na expressão de $ y $:
Isso mostra que a função $ y $ é uma solução da equação diferencial dada, pois satisfaz a relação estabelecida pela equação quando $ c_1 $ é expresso em termos de $ x $.
Resposta
Sim, a função $ y = \left( \sqrt{2} + c_{1} \right)^{2} $ é uma solução válida para a equação diferencial dada.