Uma esfera, com raio medindo 5 cm , está circunscrita a um cilindro circular reto cuja altura mede 8 cm . Chamouse de X a razão entre o volume da esfera e o volume do cilindro. Dentre as opções abaixo, assinale a que apresenta o valor mais próximo de X .

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio 5,cm circunscrevendo um cilindro reto de altura 8,cm. O conteúdo aqui é geometria do espaço: precisamos achar o raio do cilindro inscrito na esfera e depois calcular os volumes para obter a razão X=\dfrac{\text{vol. da esfera}}{\text{vol. do cilindro}}.

Passo 2

Num cilindro inscrito numa esfera de raio R=5,cm, com altura h=8,cm, a distância do centro da esfera até cada base do cilindro é h/2=4,cm. Pela equação da esfera, o raio r do cilindro satisfaz
r = \sqrt{R^2 - \bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3\text{ cm}.

Passo 3

O volume da esfera é
V_{\text{esfera}} = \tfrac{4}{3}\,\pi\,R^3 = \tfrac{4}{3}\,\pi\,(5)^3 = \tfrac{500}{3}\,\pi.
O volume do cilindro é
V_{\text{cilindro}} = \pi\,r^2\,h = \pi\,(3)^2 \cdot 8 = 72\,\pi.

Passo 4

A razão procurada é
X = \frac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{cilindro}}} = \frac{\tfrac{500}{3}\,\pi}{72\,\pi} = \frac{500}{216} = \frac{125}{54} \approx 2{,}31.

Resposta

A opção cujo valor mais próximo de X é 2{,}31.

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