1. Uma placa de largura \Delta z=2 a, se estende de z=-a até z=+a no eixo z, e de -\infty a +\infty nos eixos x e y. Dentro da placa existe uma corrente uniforme \vec{J}=J_{0} \hat{x}. Use a lei de Ampère para encontrar o campo magnético dentro e fora da placa. (Resposta: \vec{B}=-\mu_{0} J_{0} z \hat{y} para -a<z<a, \vec{B}=-\mu_{0} J_{0} a \hat{y} para z>+a e \vec{B}=\mu_{0} J_{0} a \hat{y} para z<-a.)

Passo 1

O enunciado dá uma placa infinita nos eixos x e y e limitada em z por -a\le z\le +a (ou seja, espessura \Delta z=2a). Dentro dessa placa existe uma densidade de corrente uniforme
\vec{J}=J_{0}\,\hat{x},
e fora da placa \vec{J}=0. A placa é infinita em x e y. O problema pede o campo magnético \vec{B} em todas as regiões: dentro da placa ( -a<z<a) e fora dela ( z>+a e z<-a).
Informações relevantes:
  • Corrente uniforme na direção +\hat{x} com densidade J_0 apenas para -a\le z\le a.
  • Sistema infinito em x e y.
  • Pedir \vec{B}(z) (ou seja, encontrar dependência em z e direção de \vec B).

Passo 2

Raciocínio por simetria (muito importante para escolher forma de \vec B):
  • A distribuição é translacionalmente invariante em x e y (nada muda se deslocar nessas direções). Logo \vec B não pode depender de x nem de y; só pode depender de z.
  • A corrente está ao longo de \hat{x}. Pelo “rolar” do campo magnético em volta de uma corrente (regra da mão direita), as linhas de \vec B formam laços em torno do eixo x. Isso implica que \vec B será perpendicular a \hat{x} e, devido à geometria (infinito em y), a componente natural é ao longo de \hat{y} (ou seja, \vec B terá apenas componente na direção y). Assim esperamos
\vec B(z)=B_y(z)\,\hat{y}.
  • Pelo espelhamento em z=0 (distribuição simétrica), \vec B é uma função ímpar de z: B_y(-z)=-B_y(z). Em particular B_y(0)=0.

Passo 3

Apresentando a lei de Ampère e escolha da curva amperiana:
A lei integral de Ampère (no regime estático, sem deslocamento de Maxwell relevante aqui) diz
\oint \vec B\cdot d\vec l = \mu_0 I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total que atravessa qualquer superfície cujo contorno é a curva fechada considerada. Para explorar a dependência em z escolhemos uma curva retangular no plano y\!-\!z: duas arestas paralelas a y de comprimento L, localizadas em alturas z_1 e z_2, e duas arestas paralelas a z que ligam essas. Veja a utilidade desta escolha:
  • Como \vec B está na direção \hat y e depende só de z, apenas as arestas paralelas a y contribuem para a integral de linha; as arestas paralelas a z têm \vec B\cdot d\vec l=0.
  • Para as arestas em z=z_2 e z=z_1 a integral dá B_y(z_2)L - B_y(z_1)L (orientação da curva define o sinal). Portanto a lei de Ampère reduz-se a
\bigl(B_y(z_2)-B_y(z_1)\bigr)L = \mu_0 I_{\text{enc}}.
  • A corrente I_{\text{enc}} que atravessa a superfície plana do retângulo (superfície normal a \hat x) é simplesmente a densidade J_0 vezes a área da região do retângulo que está dentro da placa. Como a superfície tem comprimento L em y e extensão z_2-z_1 em z, tem área L(z_2-z_1); portanto, quando a faixa em z está totalmente dentro da placa, I_{\text{enc}} = J_0 L (z_2-z_1). Se parte do retângulo estiver fora da placa, conta-se apenas a parte dentro (ou seja, usar o comprimento efetivo da interseção com [-a,a]).

Passo 4

Cálculo dentro da placa (caso -a<z<a). Para fixar as ideias, escolha z_1=0 (centro da placa) e z_2=z com 0\le z\le a. Pela simetria B_y(0)=0. Então Ampère dá
\bigl(B_y(z)-B_y(0)\bigr)L = \mu_0 I_{\text{enc}}.
Dentro da placa, a porção do retângulo entre 0 e z contém corrente I_{\text{enc}}=J_0 L z. Substituindo:
B_y(z)L = \mu_0 J_0 L z \quad\Rightarrow\quad B_y(z)=\mu_0 J_0 z \quad (0\le z\le a).
Agora o sinal orientacional: este B_y(z) obtido é o valor algébrico na componente y conforme a orientação escolhida; para identificar o vetor com a orientação física usamos a regra da mão direita (corrente em +\hat x gera campo que, para z>0, aponta em -\hat y). Portanto o campo vetorial dentro (para 0\le z\le a) é
\vec B(z) = -\mu_0 J_0 z\,\hat y.
Para -a\le z\le 0 podemos usar a paridade ímpar: B_y(-z)=-B_y(z). Substituindo, a mesma expressão vetorial válida para todo -a<z<a é
\vec B(z) = -\mu_0 J_0 z\,\hat y \quad(-a<z<a).
Observação didática rápida: se preferir, esqueça o sinal durante a integral e obtenha apenas o módulo |B_y(z)|=\mu_0 J_0 |z| e depois determine a direção com a regra da mão direita.

Passo 5

Cálculo para z>+a (fora, acima da placa). Pegue novamente a curva com z_1=0 e z_2=z com z>a. A interseção do pedaço do retângulo com a região que contém corrente é apenas a porção de z de 0 até +a; portanto a corrente total atravessando a superfície é a corrente total da metade superior da placa (ou seja, da região 0 a a):
I_{\text{enc}} = J_0 L a.
Aplicando Ampère (novamente B_y(0)=0):
B_y(z)L = \mu_0 J_0 L a \quad\Rightarrow\quad B_y(z)=\mu_0 J_0 a \quad(z\ge a).
Usando a regra da mão direita (como em z>0 o campo aponta no sentido -\hat y) o vetor é
\vec B(z) = -\mu_0 J_0 a\,\hat y \quad(z>+a).
Note que para z\to a^- a expressão interna dá \vec B=-\mu_0 J_0 a\,\hat y, então B é contínuo na fronteira z=+a.

Passo 6

Cálculo para z<-a (fora, abaixo da placa). Usa-se simetria: a placa é simétrica e a direção do campo se inverte quando z muda de sinal. Assim para z<-a obtemos o mesmo módulo que para z>+a mas com sinal invertido:
\vec B(z) = +\mu_0 J_0 a\,\hat y \quad(z<-a).
Podemos também raciocinar com Ampère tomando z_1=z e z_2=0 (com z<-a), assim a corrente atravessando a superfície entre z e 0 é a corrente total da metade inferior: I_{\text{enc}}=J_0 L a, e o sentido (pela orientação escolhida) dá o mesmo resultado de sinal positivo em \hat y.

Passo 7

Verificação rápida via forma diferencial (confirmação): duma forma alternativa, a equação de Maxwell estática \nabla\times\vec B=\mu_0\vec J reduz, dada \vec B=B_y(z)\hat y, a
(\nabla\times\vec B)_x = -\frac{dB_y}{dz} = \mu_0 J_x.
Dentro da placa J_x=J_0, então -dB_y/dz=\mu_0 J_0 implica B_y=-\mu_0 J_0 z + C. A condição de simetria B_y(0)=0 C=0, recuperando B_y=-\mu_0 J_0 z. Fora da placa J_x=0 e então dB_y/dz=0 (campo constante), consistente com os valores constantes \pm\mu_0 J_0 a encontrados. Tudo bate certinho.

Passo 8

Resumo físico e comentário final (ânimo): o campo cresce linearmente (em módulo) com z dentro da placa porque quanto mais material com corrente estiver entre o centro e o ponto considerado, maior a corrente total “encapsulada” pelo laço de Ampère. Fora da placa, acrescentar mais distância não inclui corrente adicional, logo o campo fica constante. Está tudo consistente com Ampère e com a regra da mão direita — então dá para decorar a forma e justificar na prova.

Resposta

\vec{B}=-\mu_{0} J_{0} z\,\hat{y} para -a<z<a
\vec{B}=-\mu_{0} J_{0} a\,\hat{y} para z>+a
\vec{B}=\mu_{0} J_{0} a\,\hat{y} para z<-a

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