- Uma placa de largura
, se estende de
até
no eixo
, e de
a
nos eixos
e
. Dentro da placa existe uma corrente uniforme
. Use a lei de Ampère para encontrar o campo magnético dentro e fora da placa. (Resposta:
para
para
e
para
.)
Passo 1
O enunciado dá uma placa infinita nos eixos
e
e limitada em
por
(ou seja, espessura
). Dentro dessa placa existe uma densidade de corrente uniforme
e fora da placa
. A placa é infinita em
e
. O problema pede o campo magnético
em todas as regiões: dentro da placa (
) e fora dela (
e
).
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Corrente uniforme na direção
com densidade apenas para . - Sistema infinito em
e . - Pedir
(ou seja, encontrar dependência em e direção de ).
Passo 2
Raciocínio por simetria (muito importante para escolher forma de
):
- A distribuição é translacionalmente invariante em
e (nada muda se deslocar nessas direções). Logo não pode depender de nem de ; só pode depender de . - A corrente está ao longo de
. Pelo “rolar” do campo magnético em volta de uma corrente (regra da mão direita), as linhas de formam laços em torno do eixo . Isso implica que será perpendicular a e, devido à geometria (infinito em ), a componente natural é ao longo de (ou seja, terá apenas componente na direção ). Assim esperamos
- Pelo espelhamento em
(distribuição simétrica), é uma função ímpar de : . Em particular .
Passo 3
Apresentando a lei de Ampère e escolha da curva amperiana:
A lei integral de Ampère (no regime estático, sem deslocamento de Maxwell relevante aqui) diz
A lei integral de Ampère (no regime estático, sem deslocamento de Maxwell relevante aqui) diz
onde
é a corrente total que atravessa qualquer superfície cujo contorno é a curva fechada considerada. Para explorar a dependência em
escolhemos uma curva retangular no plano
: duas arestas paralelas a
de comprimento
, localizadas em alturas
e
, e duas arestas paralelas a
que ligam essas. Veja a utilidade desta escolha:
- Como
está na direção e depende só de , apenas as arestas paralelas a contribuem para a integral de linha; as arestas paralelas a têm . - Para as arestas em
e a integral dá (orientação da curva define o sinal). Portanto a lei de Ampère reduz-se a
- A corrente
que atravessa a superfície plana do retângulo (superfície normal a ) é simplesmente a densidade vezes a área da região do retângulo que está dentro da placa. Como a superfície tem comprimento em e extensão em , tem área ; portanto, quando a faixa em está totalmente dentro da placa, . Se parte do retângulo estiver fora da placa, conta-se apenas a parte dentro (ou seja, usar o comprimento efetivo da interseção com ).
Passo 4
Cálculo dentro da placa (caso
). Para fixar as ideias, escolha
(centro da placa) e
com
. Pela simetria
. Então Ampère dá
Dentro da placa, a porção do retângulo entre
e
contém corrente
. Substituindo:
Agora o sinal orientacional: este
obtido é o valor algébrico na componente
conforme a orientação escolhida; para identificar o vetor com a orientação física usamos a regra da mão direita (corrente em
gera campo que, para
, aponta em
). Portanto o campo vetorial dentro (para
) é
Para
podemos usar a paridade ímpar:
. Substituindo, a mesma expressão vetorial válida para todo
é
Observação didática rápida: se preferir, esqueça o sinal durante a integral e obtenha apenas o módulo
e depois determine a direção com a regra da mão direita.
Passo 5
Cálculo para
(fora, acima da placa). Pegue novamente a curva com
e
com
. A interseção do pedaço do retângulo com a região que contém corrente é apenas a porção de
de
até
; portanto a corrente total atravessando a superfície é a corrente total da metade superior da placa (ou seja, da região
a
):
Aplicando Ampère (novamente
):
Usando a regra da mão direita (como em
o campo aponta no sentido
) o vetor é
Note que para
a expressão interna dá
, então
é contínuo na fronteira
.
Passo 6
Cálculo para
(fora, abaixo da placa). Usa-se simetria: a placa é simétrica e a direção do campo se inverte quando
muda de sinal. Assim para
obtemos o mesmo módulo que para
mas com sinal invertido:
Podemos também raciocinar com Ampère tomando
e
(com
), assim a corrente atravessando a superfície entre
e
é a corrente total da metade inferior:
, e o sentido (pela orientação escolhida) dá o mesmo resultado de sinal positivo em
.
Passo 7
Verificação rápida via forma diferencial (confirmação): duma forma alternativa, a equação de Maxwell estática
reduz, dada
, a
Dentro da placa
, então
implica
. A condição de simetria
dá
, recuperando
. Fora da placa
e então
(campo constante), consistente com os valores constantes
encontrados. Tudo bate certinho.
Passo 8
Resumo físico e comentário final (ânimo): o campo cresce linearmente (em módulo) com
dentro da placa porque quanto mais material com corrente estiver entre o centro e o ponto considerado, maior a corrente total “encapsulada” pelo laço de Ampère. Fora da placa, acrescentar mais distância não inclui corrente adicional, logo o campo fica constante. Está tudo consistente com Ampère e com a regra da mão direita — então dá para decorar a forma e justificar na prova.