Uma esfera de raio R tem uma densidade de carga \rho(r)=k r^{2} (onde k é uma constante). Encontre a energia da configuração. (Valor: 1,5 pootos)

Passo 1

O enunciado pede a energia eletrostática de auto-energia de uma esfera de raio R cuja densidade volumétrica de carga varia como
\rho(r)=k\,r^{2},
onde k é constante. Para resolver, vamos usar simetria esférica, calcular o campo elétrico E(r) por Gauss, e depois usar a expressão de energia em termos de campo:
U = \frac{\epsilon_{0}}{2}\int_{\text{tudo}} E^{2}\,dV.

Passo 2

Calculamos a carga total contida numa esfera de raio r,
q(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}dr' =\int_{0}^{r}k\,r'^{2}\,4\pi r'^{2}dr' =4\pi k\int_{0}^{r}r'^{4}dr' =\frac{4\pi k\,r^{5}}{5}.

Passo 3

Pela lei de Gauss, o campo elétrico radial é
E(r)=\begin{cases} \dfrac{q(r)}{4\pi\epsilon_{0}\,r^{2}} =\dfrac{4\pi k\,r^{5}/5}{4\pi\epsilon_{0}\,r^{2}} =\dfrac{k\,r^{3}}{5\,\epsilon_{0}},&0\le r\le R,\\[1em] \dfrac{q(R)}{4\pi\epsilon_{0}\,r^{2}} =\dfrac{4\pi k\,R^{5}/5}{4\pi\epsilon_{0}\,r^{2}} =\dfrac{k\,R^{5}}{5\,\epsilon_{0}\,r^{2}},&r\ge R. \end{cases}]

Passo 4

Escrevemos a energia como
U=\frac{\epsilon_{0}}{2}\Biggl(\int_{0}^{R}E^{2}(r)\,4\pi r^{2}dr +\int_{R}^{\infty}E^{2}(r)\,4\pi r^{2}dr\Biggr).

Passo 5

Para 0\le r\le R,
E^{2}(r)=\frac{k^{2}r^{6}}{25\,\epsilon_{0}^{2}},
logo a contribuição interna é
U_{\rm int} =\frac{\epsilon_{0}}{2}\int_{0}^{R}\frac{k^{2}r^{6}}{25\,\epsilon_{0}^{2}}\,4\pi r^{2}dr =\frac{2\pi k^{2}}{25\,\epsilon_{0}}\int_{0}^{R}r^{8}dr =\frac{2\pi k^{2}}{25\,\epsilon_{0}}\;\frac{R^{9}}{9} =\frac{2\pi k^{2}R^{9}}{225\,\epsilon_{0}}.

Passo 6

Para r\ge R,
E^{2}(r)=\frac{k^{2}R^{10}}{25\,\epsilon_{0}^{2}\,r^{4}},
e a parte externa dá
U_{\rm ext} =\frac{\epsilon_{0}}{2}\int_{R}^{\infty}\frac{k^{2}R^{10}}{25\,\epsilon_{0}^{2}r^{4}}\,4\pi r^{2}dr =\frac{2\pi k^{2}R^{10}}{25\,\epsilon_{0}}\int_{R}^{\infty}\frac{dr}{r^{2}} =\frac{2\pi k^{2}R^{10}}{25\,\epsilon_{0}}\;\frac{1}{R} =\frac{2\pi k^{2}R^{9}}{25\,\epsilon_{0}}.

Passo 7

Somando as partes interna e externa,
U =U_{\rm int}+U_{\rm ext} =\frac{2\pi k^{2}R^{9}}{225\,\epsilon_{0}} +\frac{2\pi k^{2}R^{9}}{25\,\epsilon_{0}} =\frac{4\pi k^{2}R^{9}}{45\,\epsilon_{0}}.

Resposta

U=\frac{4\pi k^{2}R^{9}}{45\,\epsilon_{0}}.

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