Seja uma escada de comprimento 9 metros. Colocamos uma extremidade desta escada em uma parede de altura 4 metros. A escada pesa 20 kg . Se o coeficiente de atrito estático com o chão vale 0.40 , e um homem de 60 kg sobe nesta escada, faça:
a) O diagrama de força na escada indicando todas as forças que agem sobre ela.
b) A altura máxima que este homem pode alcançar na escada antes da escada deslizar
a) O diagrama de força na escada indicando todas as forças que agem sobre ela.
b) A altura máxima que este homem pode alcançar na escada antes da escada deslizar
Passo 1
O enunciado descreve uma escada homogênea de comprimento
,m apoiada contra uma parede de altura
,m, com coeficiente de atrito estático no chão
. A escada pesa
,kg e um homem de
,kg sobe até uma distância
ao longo da escada. Queremos (a) representar todas as forças sobre a escada e (b) determinar a altura máxima que o homem pode alcançar antes que a escada escorregue. O conteúdo necessário é equilíbrio estático de corpo rígido com atrito.
Passo 2
No diagrama de forças aplicado à escada (vista de lado, apoio no chão à esquerda e contato com a parede à direita) temos:
– no ponto de contato com o chão, a força normal vertical para cima
, e a força de atrito estático horizontal para a esquerda
;
– no ponto de contato com a parede, a reação normal horizontal para a esquerda (assumimos a parede sem atrito);
– o peso da escada atuando no centro da escada (distância
do pé);
– o peso do homem atuando a uma distância
do pé, ao longo da escada.
– no ponto de contato com o chão, a força normal vertical para cima
– no ponto de contato com a parede, a reação normal horizontal para a esquerda
– o peso da escada
– o peso do homem
Passo 3
Pela condição de equilíbrio das forças em cada direção, temos:
horizontalmente:
horizontalmente:
verticalmente:
Passo 4
Para o equilíbrio de momentos, tomamos o pivô no ponto de contato com o chão. Somatório dos momentos nulos dá
onde
é o braço horizontal do peso da escada e
o braço horizontal do peso do homem.
Como a base da escada fica a
metros do pé da parede, os braços são
Como a base da escada fica a
Passo 5
No limite de escorregamento, a força de atrito vale
e como
, temos
Substituindo em momentos:
Isolando
:
Passo 6
Calculando numericamente:
,m/s²,
,m,
Então
A altura vertical correspondente é
Resposta
a) No diagrama de forças, atuam sobre a escada:
– no chão: normal para cima e atrito
para a esquerda;
– na parede: reação normal para a esquerda;
– peso da escada no centro;
– peso do homem a uma distância
do pé.
b) A altura máxima antes de escorregar é aproximadamente ,m.
– no chão: normal
– na parede: reação normal
– peso da escada
– peso do homem
b) A altura máxima antes de escorregar é aproximadamente