Um núcleo de massa 180 u.m.a se desloca horizontalmente com velocidade de 1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Ele decai em dois, emitindo uma partícula de massa 20 u.m.a com uma velocidade de 500 \mathrm{~m} / \mathrm{s} fazendo um ângulo de 90^{\circ}. Calcular a velocidade e o ângulo do núcleo filha.

Passo 1

O enunciado descreve uma desintegração bidimensional de um núcleo de massa m_{0}=180 u.m.a que se move com velocidade inicial \vec v_{0} de módulo v_{0}=1000 m/s na direção horizontal. Ele emite uma partícula de massa m_{1}=20 u.m.a com velocidade de módulo v_{1}=500 m/s formando ângulo de 90^\circ com a direção inicial. O núcleo filho tem massa m_{2}=m_{0}-m_{1}=160 u.m.a. Vamos usar conservação do momento linear para achar o módulo v_{2} e o ângulo \theta de sua velocidade \vec v_{2}.

Passo 2

Conservação do momento linear nas componentes horizontal x e vertical y:
x:\;m_{0}\,v_{0}=m_{2}\,v_{2}\cos\theta
y:\;0=m_{1}\,v_{1}-m_{2}\,v_{2}\sin\theta
a partícula emitida vai para cima (positivo em y) e o núcleo filho recua para baixo (negativo em y).

Passo 3

Elevando ao quadrado e somando as duas equações para eliminar \theta, obtemos
m_{2}^{2}\,v_{2}^{2}=(m_{0}\,v_{0})^{2}+(m_{1}\,v_{1})^{2}.
Logo
v_{2} =\frac{\sqrt{(m_{0}\,v_{0})^{2}+(m_{1}\,v_{1})^{2}}}{m_{2}} =\frac{\sqrt{(180\cdot1000)^{2}+(20\cdot500)^{2}}}{160} \approx1127.
Portanto, v_{2}\approx1127 m/s.

Passo 4

Para o ângulo usamos a componente em y:
\tan\theta =-\frac{m_{1}\,v_{1}}{m_{0}\,v_{0}} =-\frac{20\cdot500}{180\cdot1000} =-\frac{1}{18}.
Assim
\theta=\arctan\bigl(-\tfrac{1}{18}\bigr)\approx -3{,}18^\circ,
ou seja, o núcleo filho segue cerca de 3{,}18^\circ abaixo da horizontal.

Resposta

Velocidade do núcleo filho: 1127 m/s
Ângulo em relação à direção inicial: 3{,}18^\circ abaixo da horizontal.

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