Um motor fornece uma potência constante P a um volante de momento de inércia I. Partindo do repouso, quanto tempo leva para o volante atingir a velocidade \omega ?
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
O enunciado dá:
Potência constante do motor: P.
Momento de inércia do volante: I.
Condição inicial: parte do repouso, ou seja \omega(0)=0.
Velocidade angular alvo: \omega (velocidade final que queremos atingir).
O enunciado pede:
O tempo t que o volante leva, partindo do repouso, para atingir a velocidade angular \omega.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar, como numa aulinha rápida).
Potência mecânica rotacional: a potência instantânea entregue ao eixo por um torque é o produto do torque pela velocidade angular. Em símbolos:
P = \tau(t)\,\omega(t).
Aqui:
P é a potência (energia por unidade de tempo), em unidades de watt (\mathrm{W}).
\tau(t) é o torque aplicado ao volante no instante t, em newton-metro (\mathrm{N\cdot m}).
\omega(t) é a velocidade angular do volante no instante t, em rad/s.
Segunda lei da dinâmica rotacional (análogo de F=ma para rotação): o torque líquido sobre um corpo rígido é o momento de inércia vezes a aceleração angular:
\tau(t) = I\,\alpha(t) = I\,\frac{d\omega}{dt},
onde:
I é o momento de inércia do volante, em \mathrm{kg\cdot m^2}.
\alpha(t)=\dfrac{d\omega}{dt} é a aceleração angular.
Essas duas relações são suficientes para montar a equação que relaciona P, I e \omega(t).
Passo 3
Combinar as fórmulas: substituir \tau(t) da segunda lei dentro da expressão de potência.
A partir de P = \tau(t)\,\omega(t) e de \tau(t)=I\,\dfrac{d\omega}{dt} segue
P = I\,\frac{d\omega}{dt}\,\omega(t).
Esta é uma equação diferencial ordinária para \omega(t). Observação pedagógica: aqui \omega é função do tempo; o produto \dfrac{d\omega}{dt}\,\omega significa que a taxa de variação de \omega depende inversamente de \omega quando P e I são constantes.
Passo 4
Reescrever a equação para separar variáveis e poder integrar. Isolar \dfrac{d\omega}{dt}:
\frac{d\omega}{dt} = \frac{P}{I\,\omega}.
Agora fazemos separação de variáveis: movemos \omega para o lado esquerdo e dt para o lado direito:
\omega\,d\omega = \frac{P}{I}\,dt.
Explicando a técnica: separar variáveis significa escrever todos os termos que dependem de \omega com d\omega e todos os termos que dependem de t com dt, assim podemos integrar cada lado em relação à sua variável.
Passo 5
Integrar ambos os lados entre os limites apropriados (condição inicial \omega(0)=0 até \omega(t)=\omega).
Resolver a equação anterior para o tempo t. Isolando t obtemos a expressão que relaciona t, I, \omega e P. (Apenas organizando termos; a expressão final será colocada na seção de resposta conforme pedido.)
Além disso, verificação rápida de unidades para checar coerência:
I tem unidades \mathrm{kg\cdot m^2}.
\omega^2 tem unidades \mathrm{rad^2/s^2} (rad é adimensional).
P tem unidades \mathrm{kg\cdot m^2/s^3}.
Portanto I\omega^2/P tem unidades de segundo, como esperado.
Observação física importante (não atrapalha o cálculo, mas é bom saber): a fórmula assume potência constante mesmo enquanto \omega se aproxima de zero. Como P=\tau\omega, para \omega\to 0 isso implicaria \tau\to\infty. Na prática, um motor real não pode fornecer torque infinito; o enunciado está trabalhando numa idealização matemática (potência constante aplicada ao volante), e nessa idealização a integração dá um tempo finito. Se for importante considerar a realidade do motor, teria que modelar um torque máximo ou uma potência que cresce a partir de zero de forma diferente. Mas para o problema idealizado, a dedução acima é válida.