Suponha um anel extremamente fino, de raio
, dividido em duas partes iguais. No primeiro e segundo quadrantes, a densidade linear de carga é constante e vale
. Similarmente, no terceiro e quarto quadrantes, a densidade vale
. Calcule o campo elétrico no centro do anel e explique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um anel bem fininho com raio
, dividido em duas partes iguais. Nos primeiros dois quadrantes, a densidade de carga linear é constante e vale
. Nos outros dois quadrantes, a densidade é
. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico no centro desse anel. Para resolver, vamos precisar saber sobre campos elétricos gerados por distribuições de carga e usar um pouco de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como a carga está distribuída no anel. Nos primeiros dois quadrantes (digamos, de 0 a 180 graus), a carga é positiva (
) e nos outros dois quadrantes (de 180 a 360 graus), a carga é negativa (
). Isso significa que o anel tem uma distribuição simétrica de cargas positivas e negativas.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga em um ponto específico depende da posição da carga em relação a esse ponto. No caso, queremos o campo no centro do anel. Devido à simetria do problema, cada pequeno pedaço de carga positiva no primeiro e segundo quadrantes terá um pedaço de carga negativa correspondente nos outros dois quadrantes que vai gerar um campo elétrico oposto.
Passo 4
Vamos considerar um pequeno elemento de carga
em um dos primeiros dois quadrantes. Esse elemento gera um campo elétrico
no centro do anel. Agora, o elemento correspondente nos terceiros e quartos quadrantes tem carga
e, portanto, gera um campo elétrico
. Como esses campos são de igual magnitude e opostos em direção, eles se cancelam.
Passo 5
Esse cancelamento acontece para cada par de cargas opostas ao redor do anel. Como todo elemento de carga positiva tem um correspondente negativo que cancela seu campo, o campo elétrico total no centro do anel será a soma de todos esses cancelamentos.
Resposta
O campo elétrico no centro do anel é zero.