1. Se a n-ésima soma parcial de uma série sumn=1^infty an for sn=3-n 2^-n, encontre an e sumn=1^infty an.
  2. Quando o dinheiro é gasto em produtos e serviços, aqueles que
  1. o recebem também gastam uma parte dele. As pessoas que recebem parte do dinheiro gasto duas vezes gastarão uma parte, e assim por diante. Os economistas chamam essa reação em cadeia de efeito multiplicador. Em uma comunidade hipotética isolada, o governo local começa o processo gastando $D. Suponha que cada pessoa que recebe o dinheiro gasto gaste D Suponha que cada pessoa que recebe o dinheiro gasto gaste e economize e economize do dinheiro que recebeu. Os valores de do dinheiro que recebeu Os valores de e e são denominados propensāo marginal a consumir e propensão marginal a economizar e, é claro, são denominados propensāo marginal a consumir e propensão marginal a economizar e, é claro, .
    (a) Seja (a) Seja o gasto total que foi gerado depois de o gasto total que foi >=rado depois de transações. Encontre uma equação para transações Encontre uma equação para .
    (b) Mostre que (b) Mostre que , onde , onde . O número O número é chamado multiplicador. Qual é o multiplicador se a propensão marginal para consumir for é chamado mu<iplicador Qual é o mu<iplicador se a propensão marginal para consumir for ?
    Observação: O governo federal usa esse princípio para justificar o gasto deficitário. Os bancos usam esse princípio para justificar o empréstimo de uma grande porcentagem do dinheiro que recebem em depósitos.

Passo 1

O exercício 56 nos dá a n-ésima soma parcial
sn=3 - n,2^-n
de uma série sumn=1^inftyan. Precisamos encontrar an e o valor da soma infinita sumn=1^inftyan.

Passo 2

Por definição, para n>=2 vale
an=sn-sn-1 =l(3 - n,2^-nr);-;l(3 - (n-1),2^-(n-1)r) =(n-1),2^-(n-1) - n,2^-n
Observe que (n-1),2^-(n-1)=2(n-1),2^-n, logo
an=l[2(n-1)-nr]2^-n=(n-2)2^-n
Além disso, para n=1 temos
a1=s1-s0=s1=3 - 1cdot2^-1=52

Passo 3

O valor da soma infinita é
sumn=1^inftyan =limntoinftysn =limntoinftyl(3 - n,2^-nr) =3
pois n,2^-nto0 quando ntoinfty.

Passo 4

O exercício 57 modela um processo de gastos sucessivos com propensão marginal a consumir c e a economizar s, em que o governo inicia com gasto D. Definindo Sn como o gasto total após n rodadas de consumo, note que cada rodada injeta uma fração c do valor da rodada anterior.

Passo 5

Assim
Sn = D + D,c + D,c^2 + cdots + D,c^n = Dsumk=0^nc^k = D;1-c^,n+11-c
Como 1-c=s, isso equivale a
Sn= Dl(1-c^,n+1r)s

Passo 6

Tomando ntoinfty e usando |c|<1, temos c^,n+1to0, logo
limntoinftySn =Ds =kD,
onde o multiplicador econômico é k=1/s. Se c=0,8 então s=0,2 e
k=10,2=5

Resposta

a1=tfrac52, an=(n-2)2^-n para n>=2,
e sumn=1^inftyan=3
(a) Sn=Dsumk=0^nc^k=D(1-c^,n+1)1-c
(b) limntoinftySn=(1/s)D, portanto k=1/s. Se c=0,8 então s=0,2 e k=5

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