- Se a
-ésima soma parcial de uma série
for
, encontre
e
.
- Quando o dinheiro é gasto em produtos e serviços, aqueles que
- o recebem também gastam uma parte dele. As pessoas que recebem parte do dinheiro gasto duas vezes gastarão uma parte, e assim por diante. Os economistas chamam essa reação em cadeia de efeito multiplicador. Em uma comunidade hipotética isolada, o governo local começa o processo gastando $D. Suponha que cada pessoa que recebe o dinheiro gasto gaste
e economize
do dinheiro que recebeu. Os valores de
e
são denominados propensāo marginal a consumir e propensão marginal a economizar e, é claro,
.
(a) Seja
o gasto total que foi gerado depois de
transações. Encontre uma equação para
.
(b) Mostre que
, onde
. O número
é chamado multiplicador. Qual é o multiplicador se a propensão marginal para consumir for
?
Observação: O governo federal usa esse princípio para justificar o gasto deficitário. Os bancos usam esse princípio para justificar o empréstimo de uma grande porcentagem do dinheiro que recebem em depósitos.
(a) Seja
(b) Mostre que
Observação: O governo federal usa esse princípio para justificar o gasto deficitário. Os bancos usam esse princípio para justificar o empréstimo de uma grande porcentagem do dinheiro que recebem em depósitos.
Passo 1
O exercício 56 nos dá a n-ésima soma parcial
de uma série
. Precisamos encontrar
e o valor da soma infinita
.
Passo 2
Por definição, para
vale
Observe que
, logo
Além disso, para
temos
Passo 3
O valor da soma infinita é
pois
quando
.
Passo 4
O exercício 57 modela um processo de gastos sucessivos com propensão marginal a consumir
e a economizar
, em que o governo inicia com gasto
. Definindo
como o gasto total após
rodadas de consumo, note que cada rodada injeta uma fração
do valor da rodada anterior.
Passo 5
Assim
Como
, isso equivale a
Passo 6
Tomando
e usando
, temos
, logo
onde o multiplicador econômico é
. Se
então
e
Resposta
e
(a)
(b) , portanto
. Se
então
e
(b)