O enunciado pede para achar bases dos subespaços M2times2supset W1,W2, da interseção W1cap W2 e da soma W1+W2.
O conteúdo usado é teoria de subespaços vetoriais: descrição de um gerador por parâmetros, teste de independência linear, fórmula de dimensão
dim(W1+W2)=dim W1+dim W2-dim(W1cap W2)
e escolha de vetores independentes que geram cada espaço.
Passo 2
Um elemento genérico de W1 tem a forma
a & b b & a =a1 & 00 & 1 +b0 & 11 & 0
Os dois vetores matriciais
E1=1 & 00 & 1, E2=0 & 11 & 0
são independentes e geram W1.
Passo 3
Um elemento genérico de é
Os vetores
são independentes e geram .
Passo 4
Para temos
.
Igualando entradas: , , , . Logo e
Assim é gerado por
e é base.
Passo 5
Temos dim W1=2, dim W2=2, dim(W1cap W2)=1, então
dim(W1+W2)=2+2-1=3
Podemos unir vetores geradores e retirar um redundante. Por exemplo, em E1,E2,F1,F2 o único dependente é E1+E2-F1-F2=0.
Tomando
E1, E2, F1
vemos que eles são independentes (nenhum é combinação linear dos outros) e geram W1+W2.