No espaço M2 times 2, considere os subespaços
W1=(ll a & b b & a ): a, b in R e W2=(ll x & y x & y ): x, y in R
Determine bases de W1, W2, W1 cap W2 e de W1+W2.

Passo 1

O enunciado pede para achar bases dos subespaços
M2times2supset W1,W2, da interseção W1cap W2 e da soma W1+W2.
O conteúdo usado é teoria de subespaços vetoriais: descrição de um gerador por parâmetros, teste de independência linear, fórmula de dimensão
dim(W1+W2)=dim W1+dim W2-dim(W1cap W2)
e escolha de vetores independentes que geram cada espaço.

Passo 2

Um elemento genérico de W1 tem a forma
a & b b & a =a1 & 00 & 1 +b0 & 11 & 0
Os dois vetores matriciais
E1=1 & 00 & 1, E2=0 & 11 & 0
são independentes e geram W1.

Passo 3

Um elemento genérico de é
Os vetores
são independentes e geram .

Passo 4

Para temos
.
Igualando entradas: , , , . Logo e
Assim é gerado por
e é base.

Passo 5

Temos dim W1=2, dim W2=2, dim(W1cap W2)=1, então
dim(W1+W2)=2+2-1=3
Podemos unir vetores geradores e retirar um redundante. Por exemplo, em
E1,E2,F1,F2 o único dependente é
E1+E2-F1-F2=0.
Tomando
E1, E2, F1
vemos que eles são independentes (nenhum é combinação linear dos outros) e geram W1+W2.

Resposta

Base de W1:
1 & 00 & 1, 0 & 11 & 0
Base de W2:
1 & 01 & 0, 0 & 10 & 1
Base de W1cap W2:
1 & 11 & 1
Base de W1+W2:
1 & 00 & 1, 0 & 11 & 0, 1 & 01 & 0

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