No espaço
, considere os subespaços
Exiba um vetor do espaço
M2 times 2 , que não pertença a
W1+W2 .
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de matriz em
M2times2 que não possa ser escrita como soma de uma matriz de
com uma de
O conteúdo envolvido é caracterizar
W1+W2 e então encontrar uma matriz fora dessa soma.
Passo 2
Sejam
Então um genérico elemento de
W1+W2 é
Passo 3
Denote esta soma por
Isso gera o sistema de quatro equações:
Passo 4
Subtraindo a primeira da terceira equação obtém-se
e subtraindo a segunda da quarta
Somando as duas relações leva a
Logo toda matriz em
W1+W2 satisfaz
isto é, a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos da segunda.
Passo 5
Basta escolher uma matriz cuja soma das entradas da primeira linha seja diferente da soma das da segunda. Por exemplo,
Aqui
1+0neq0+0 , logo
M0notin W1+W2 .