No espaço M2 times 2, considere os subespaços
W1=(ll a & b b & a ): a, b in R e W2=(ll x & y x & y ): x, y in R
Exiba um vetor do espaço M2 times 2, que não pertença a W1+W2.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de matriz em M2times2 que não possa ser escrita como soma de uma matriz de
W1=la & b b & a!colon a,binRr
com uma de
W2=lx & y x & y!colon x,yinRr
O conteúdo envolvido é caracterizar W1+W2 e então encontrar uma matriz fora dessa soma.

Passo 2

Sejam
A=a & b b & ain W1, B=x & y x & yin W2
Então um genérico elemento de W1+W2 é
A+B =a+x & b+y b+x & a+y

Passo 3

Denote esta soma por
Isso gera o sistema de quatro equações:

Passo 4

Subtraindo a primeira da terceira equação obtém-se
(b+x)-(a+x)=m21-m11 ;Longrightarrow; b - a = m21-m11,
e subtraindo a segunda da quarta
(a+y)-(b+y)=m22-m12 ;Longrightarrow; a - b = m22-m12
Somando as duas relações leva a
(m21-m11)+(m22-m12)=0 ;Longrightarrow; m21+m22=m11+m12
Logo toda matriz em W1+W2 satisfaz
m11+m12=m21+m22,
isto é, a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos da segunda.

Passo 5

Basta escolher uma matriz cuja soma das entradas da primeira linha seja diferente da soma das da segunda. Por exemplo,
M0=1 & 00 & 0
Aqui 1+0neq0+0, logo M0notin W1+W2.

Resposta

1 & 00 & 0

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