Sejam W1 e W2 os subespaços do R^3 dados por
W1=(x, y, 0): x, y in R e W2=(x, y, x-y): x, y in R
Calcule dim(W1 cap W2) e dim(W1+W2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as dimensões de duas operações envolvendo os subespaços W1 e W2 em R^3 . Vamos precisar entender conceitos de subespaços, interseção e soma de subespaços, além de como determinar a dimensão desses conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são W1 e W2 :
  • W1 = (x, y, 0) : x, y in R é o plano XY no espaço tridimensional. Todos os vetores de W1 têm a coordenada z igual a zero.
  • W2 = (x, y, x - y) : x, y in R é outro plano no espaço tridimensional, onde a coordenada z é dada por x - y .

Passo 3

Vamos calcular dim(W1 cap W2) , que é a dimensão da interseção de W1 e W2 . A interseção contém todos os vetores que estão em ambos os subespaços.
Para um vetor estar em W1 cap W2 , ele deve satisfazer ambas as condições:
  1. z = 0 (porque está em W1 )
  2. z = x - y (porque está em W2 )
Igualando as duas expressões para z:
0 = x - y Rightarrow x = y
Então, os vetores na interseção têm a forma (x, x, 0) , onde x in R .

Passo 4

Agora, vemos que W1 cap W2 = (x, x, 0) : x in R é uma linha no espaço tridimensional, já que só há uma variável livre x . Portanto, a dimensão desse espaço é 1.
dim(W1 cap W2) = 1

Passo 5

Em seguida, vamos calcular dim(W1 + W2) , que é a dimensão da soma dos subespaços W1 e W2 . A soma W1 + W2 consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de W1 e um vetor de W2 .
Para determinar a dimensão da soma, usamos a fórmula:
dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1 cap W2)
Sabemos que dim(W1) = 2 e dim(W2) = 2 , pois ambos são planos. Já calculamos que dim(W1 cap W2) = 1 .
Substituindo na fórmula:
dim(W1 + W2) = 2 + 2 - 1 = 3
Isso significa que W1 + W2 preenche todo o espaço R^3 , que tem dimensão 3.

Resposta

dim(W1 cap W2) = 1 e dim(W1 + W2) = 3

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