Sejam
e
os subespaços do
dados por
Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as dimensões de duas operações envolvendo os subespaços
e
em
. Vamos precisar entender conceitos de subespaços, interseção e soma de subespaços, além de como determinar a dimensão desses conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
:
-
é o plano XY no espaço tridimensional. Todos os vetores de têm a coordenada z igual a zero. -
é outro plano no espaço tridimensional, onde a coordenada z é dada por .
Passo 3
Vamos calcular
, que é a dimensão da interseção de
e
. A interseção contém todos os vetores que estão em ambos os subespaços.
Para um vetor estar em
, ele deve satisfazer ambas as condições:
-
(porque está em ) -
(porque está em )
Igualando as duas expressões para z:
Então, os vetores na interseção têm a forma
, onde
.
Passo 4
Agora, vemos que
é uma linha no espaço tridimensional, já que só há uma variável livre
. Portanto, a dimensão desse espaço é 1.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular
, que é a dimensão da soma dos subespaços
e
. A soma
consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Para determinar a dimensão da soma, usamos a fórmula:
Sabemos que
e
, pois ambos são planos. Já calculamos que
.
Substituindo na fórmula:
Isso significa que
preenche todo o espaço
, que tem dimensão 3.