Sejam W1 e W2 os subespaços do R^3 dados por
W1=(x, y, 0): x, y in R e W2=(x, y, x-y): x, y in R
O conjunto W1 cup W2 é um subespaço vetorial do R^3? Se for, qual a dimensão?

Passo 1

O enunciado apresenta os subespaços
W1=(x,y,0)mid x,yinR, W2=(x,y,x-y)mid x,yinR
em R^3 e pergunta se a união W1cup W2 é subespaço vetorial. O conteúdo que vamos usar é o critério de quando a união de dois subespaços é novamente subespaço.

Passo 2

O critério geral é: a união de dois subespaços U e V de um espaço vetorial é subespaço se, e somente se, um deles está contido no outro ( Usubseteq V ou Vsubseteq U).

Passo 3

Mostramos que não há inclusão W1subseteq W2 nem W2subseteq W1 examinando vetores típicos e usando falha de fechamento:
  • Tome u=(1,0,0)in W1 (porque o terceiro componente é zero).
  • Tome v=(0,1,-1)in W2 (pois -1=0-1).
    A soma é
u+v=(1,1,-1)
Esse vetor não pertence a W1 (porque o terceiro componente é -1neq0) e não pertence a W2 (pois se fosse em W2 teríamos -1=1-1=0, absurdo). Logo a união falha em ser fechada sob soma.

Passo 4

Como não há inclusão de um subespaço no outro e a união não é fechada sob soma, concluímos que W1cup W2 não é um subespaço de R^3.

Resposta

W1cup W2 não é subespaço vetorial de R^3.

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