Sejam
e
os subespaços do
dados por
O conjunto
é um subespaço vetorial do
? Se for, qual a dimensão?
Passo 1
O enunciado apresenta os subespaços
em
e pergunta se a união
é subespaço vetorial. O conteúdo que vamos usar é o critério de quando a união de dois subespaços é novamente subespaço.
Passo 2
O critério geral é: a união de dois subespaços
e
de um espaço vetorial é subespaço se, e somente se, um deles está contido no outro (
ou
).
Passo 3
Mostramos que não há inclusão
nem
examinando vetores típicos e usando falha de fechamento:
- Tome
(porque o terceiro componente é zero). - Tome
(pois ).
A soma é
Esse vetor não pertence a
(porque o terceiro componente é
) e não pertence a
(pois se fosse em
teríamos
, absurdo). Logo a união falha em ser fechada sob soma.
Passo 4
Como não há inclusão de um subespaço no outro e a união não é fechada sob soma, concluímos que
não é um subespaço de
.