Seja W=[v1, v2, v3] o subespaço de P2, gerado pelos vetores
v1=1, v2=1-t+t^2 e v3=1-2 t+2 t^2
Os vetores v1, v2 e v3 são LI ou LD?

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em P2:
v1=1, v2=1 - t + t^2, v3=1 - 2t + 2t^2,
e pede para verificar se v1,v2,v3 são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso vamos usar o critério de independência: investigar a solução da combinação linear homogênea
alpha,v1 + beta,v2 + gamma,v3 = 0
e ver se existem coeficientes não todos nulos.

Passo 2

Escrevemos a combinação alpha,v1 + beta,v2 + gamma,v3 como polinômio em t. Substituindo:
alpha,(1) + beta,(1 - t + t^2) + gamma,(1 - 2t + 2t^2) ;=; (alpha + beta + gamma) ;+; (-beta -2gamma),t ;+; (beta + 2gamma),t^2
Como queremos o polinômio nulo, igualamos cada coeficiente a zero.

Passo 3

Igualando coeficientes de
Das duas últimas equações vem , é não trivial.

Passo 4

A existência de uma solução não trivial prova que v1,v2,v3 são linearmente dependentes. Em particular, escolhemdo gamma=1 obtemos a relação
1cdot v1 ;-; 2cdot v2 ;+; 1cdot v3 = 0

Resposta

Os vetores v1,v2,v3 são linearmente dependentes.

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