Seja W=[v1, v2, v3] o subespaço de P2, gerado pelos vetores
v1=1, v2=1-t+t^2 e v3=1-2 t+2 t^2
Determine uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado define com
Queremos achar uma base de e sua dimensão. Para isso, vamos representar esses polinômios pelos vetores de suas coordenadas no sistema canônico e estudar dependência linear.

Passo 2

As coordenadas de cada vi em relação à base 1,t,t^2 são:
v1 rightarrow (1,0,0), v2 rightarrow (1,-1,1), v3 rightarrow (1,-2,2)
Isso nos permite montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas.

Passo 3

Consideramos a matriz
Fazendo operações elementares: usar como pivô o elemento e zerar a linha 3:
Isso mostra que , logo existem duas colunas linearmente independentes.

Passo 4

Como a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras, buscamos coeficientes c1 e c2 tais que
v3 = c1 v1 + c2 v2
Pelas coordenadas,
(1,-2,2) = c1(1,0,0) + c2(1,-1,1) = (c1+c2,,-c2,,c2)
Igualando componentes, obtemos c2 = 2 e c1 + c2 = 1, logo c1 = -1. Assim
v3 = -1cdot v1 + 2cdot v2,
confirmando a dependência.

Passo 5

Escolhendo as duas colunas independentes (por exemplo e ), temos que é uma base de . Como , a dimensão de é 2.

Resposta

Uma base de W é
,1,;1 - t + t^2,
e dim(W)=2.

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