No espaço:
Encontre a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto P=(1,-1,3) é paralelo ao plano x-2y+3z-4=0 e intercepta a reta x=y=z

Passo 1

O enunciado pede a equação paramétrica da reta que (i) passa por P=(1,-1,3), (ii) é paralela ao plano
x - 2y + 3z - 4 = 0
e (iii) intercepta a reta x=y=z.
Para resolver, vamos usar:
  • Representação vetorial de reta com ponto e direção.
  • Condição de paralelismo de reta e plano (direção da reta ortogonal ao vetor normal do plano).
  • Imposição de interseção com a reta x=y=z.

Passo 2

Se a reta intercepta x=y=z, existe um ponto de interseção
Q = (t0,t0,t0)
que pertence tanto à reta buscada quanto à reta x=y=z. Então o vetor
PQ = Q - P = (t0-1,;t0+1,;t0-3)
é um possível vetor direção da nossa reta.

Passo 3

Para que a reta seja paralela ao plano x-2y+3z-4=0, seu vetor direção deve ser ortogonal ao vetor normal
n=(1,-2,3). Logo impomos
PQcdot n = 0
Em bloco:
(t0-1)cdot 1 ;+; (t0+1)cdot(-2) ;+; (t0-3)cdot 3 ;=; 0
Desenvolvendo:
t0 - 1 - 2t0 - 2 + 3t0 - 9 = 0 ;Longrightarrow; 2,t0 - 12 = 0 ;Longrightarrow; t0 = 6

Passo 4

Com t0=6 temos o ponto de interseção
Q = (6,6,6)
e, portanto, o vetor direção da reta é
d = PQ = (6-1,;6+1,;6-3) = (5,7,3)

Passo 5

Finalmente, a equação vetorial da reta, usando ponto P e direção d, é
r(t) = (1,-1,3) + t,(5,7,3)
Em forma paramétrica:
x = 1 + 5t, y = -1 + 7t, z = 3 + 3t

Resposta

boxed x = 1 + 5t, y = -1 + 7t, z = 3 + 3t

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