O espaço gerado por u=(1,3,2) e v=(0,1,4) é:
\left\{(x, y,-6 x+4 y) \in R^{3} ; x, y \in R\right\}
\left\{(x, 4 z-7 x, z) \in R^{3} ; x, z \in R\right\}
\left\{(x, 2 x, 3) \in \mathrm{R}^{3} ; x \in \mathrm{R}\right\}
{(0,0,0)}
\left\{(x, y, 2 x+y) \in R^{3}, x, y \in R\right\}

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelos vetores u=(1,3,2) e v=(0,1,4). Isso é, o span \{u,v\}, que em geral é o conjunto de todas as combinações lineares
a\,u + b\,v,\quad a,b\in\mathbb{R}.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear de u e v:
a\,(1,3,2) + b\,(0,1,4) = (\,a,\;3a + b,\;2a + 4b\,).
Chamando x=a e y=3a+b, temos imediatamente a=x e
b = y - 3x.

Passo 3

Agora expressamos a terceira coordenada em função de x e y:
z = 2a + 4b = 2x + 4(y - 3x) = 2x + 4y - 12x = 4y - 10x.

Passo 4

Concluímos que
\mathrm{Span}\{u,v\} = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : z = 4y - 10x,\;x,y\in\mathbb{R}\}
ou, em forma paramétrica,
\{(\,x,\;y,\;4y-10x)\in\mathbb{R}^3 : x,y\in\mathbb{R}\}.

Resposta

Nenhuma das alternativas apresentadas. O espaço gerado é
\{(x,y,4y-10x)\in\mathbb{R}^3;\;x,y\in\mathbb{R}\}.

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