O representante do vetor \vec{v}=(2,-1,1) tem origem no ponto A(-7,3,-5). Quais as coordenadas do vetor \vec{u} paralelo a \vec{v} cuja extremidade do seu representante \overrightarrow{A P} é o ponto P contido no plano x O y.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(2,-1,1) e o ponto de origem A=(-7,3,-5). Queremos um vetor \vec{u} paralelo a \vec{v} cujo representante \overrightarrow{A P} tenha extremidade P no plano xy (i.e.\ z=0). Para isso vamos usar que vetores paralelos são proporcionais e impor z_P=0.

Passo 2

Seja t o escalar tal que
\vec{u}=t\,\vec{v}=(2t,\,-t,\;t).
Então o ponto P obtido somando \vec{u} a A é
P=A+\vec{u}=(-7+2t,\;3-t,\;-5+t).

Passo 3

Para P pertencer ao plano xy precisamos de
z_P=-5+t=0 \quad\Longrightarrow\quad t=5.

Passo 4

Substituindo t=5 em \vec{u}=t\,\vec{v}, vem
\vec{u}=5\,(2,-1,1)=(10,-5,5).

Resposta

As coordenadas de \vec{u} são (10,-5,5).

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