Questão 03
(CESGRANRIO-Adaptada) Seja S o subespaço vetorial de \mathrm{R}^{3} formado por todos os termos ( \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} ) que são soluções do sistema linear:
\{2 x+y+3 z=0
\{\mathrm{x}-\mathrm{y}+2 \mathrm{z}=0
Considere as seguintes afirmativas relativas a S :
I. S é o espaço gerado pelos vetores (2,1,3) e ( 1,-1,2 ).
II. S tem dimensão 1.
III. (5,2,3) está em S.
Está CORRETO apenas o que se afirma em:
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
I
II
II e III
III

Passo 1

O enunciado define
S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 2x+y+3z=0,\;x-y+2z=0\}
e pede para verificar três afirmações sobre S: qual é sua base, sua dimensão e se um dado vetor pertence a S. Para isso vamos resolver o sistema, obter a forma paramétrica de S, extrair base e dimensão e testar inclusão de vetores.

Passo 2

Resolvendo
\begin{cases} 2x + y + 3z = 0,\\\ x - y + 2z = 0, \end{cases}
da segunda equação vem
y = x + 2z.
Substituindo na primeira:
2x + (x + 2z) + 3z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 5z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac{5}{3}\,z.
Então
y = -\tfrac{5}{3}\,z + 2z = \tfrac{1}{3}\,z,
Logo a solução geral é
(x,y,z) = \bigl(-\tfrac{5}{3}z,\;\tfrac{1}{3}z,\;z\bigr) = z\bigl(-\tfrac{5}{3},\tfrac{1}{3},1\bigr).

Passo 3

Podemos escrever
(x,y,z) = \frac{z}{3}\,(-5,1,3),
logo
S = \operatorname{Span}\{(-5,1,3)\} \quad\text{e}\quad \dim S = 1.

Passo 4

Afirmação I: “ S é gerado pelos vetores (2,1,3) e (1,-1,2)”.
esses vetores não satisfazem o sistema (por exemplo, 2\cdot2+1+3\cdot3=14\neq0) e ainda formam um subespaço de dimensão 2, mas \dim S=1. Logo I é falsa.

Passo 5

Afirmação II: “ S tem dimensão 1”.
Encontramos explicitamente uma base com um único vetor, então \dim S=1. II é verdadeira.

Passo 6

Afirmação III: “ (5,2,3) está em S”.
Verificando no sistema:
2\cdot5+2+3\cdot3=21\neq0 \quad\text{e}\quad 5-2+2\cdot3=9\neq0,
logo (5,2,3)\notin S. III é falsa.

Resposta

II.

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