Questão 03
(CESGRANRIO-Adaptada) Seja S o subespaço vetorial de
formado por todos os termos (
) que são soluções do sistema linear:
Considere as seguintes afirmativas relativas a S :
I. S é o espaço gerado pelos vetores
e (
).
II. S tem dimensão 1.
III.
está em
.
Está CORRETO apenas o que se afirma em:
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
I
II
II e III
III
(CESGRANRIO-Adaptada) Seja S o subespaço vetorial de
Considere as seguintes afirmativas relativas a S :
I. S é o espaço gerado pelos vetores
II. S tem dimensão 1.
III.
I
II
II e III
III
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar três afirmações sobre
: qual é sua base, sua dimensão e se um dado vetor pertence a
. Para isso vamos resolver o sistema, obter a forma paramétrica de
, extrair base e dimensão e testar inclusão de vetores.
Passo 2
Resolvendo
da segunda equação vem
Substituindo na primeira:
Então
Logo a solução geral é
Passo 3
Podemos escrever
logo
Passo 4
Afirmação I: “
é gerado pelos vetores
e
”.
esses vetores não satisfazem o sistema (por exemplo, ) e ainda formam um subespaço de dimensão 2, mas
. Logo I é falsa.
esses vetores não satisfazem o sistema (por exemplo,
Passo 5
Afirmação II: “
tem dimensão 1”.
Encontramos explicitamente uma base com um único vetor, então . II é verdadeira.
Encontramos explicitamente uma base com um único vetor, então
Passo 6
Afirmação III: “
está em
”.
Verificando no sistema:
Verificando no sistema:
logo
. III é falsa.
Resposta
II.