Questão 02
(Unicamp/Adaptada) \left\{1, x, x^{2}, \ldots, x^{n}\right\} é uma base para o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a n, \operatorname{Pn}(R), conhecida como base canônica de \operatorname{Pn}(R). A dimensão de \mathrm{Pn}(\mathrm{R}) será:
UE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
\operatorname{dim}(\operatorname{Pn}(\mathrm{R}))=2 \mathrm{n}
\operatorname{dim}(\operatorname{Pn}(\mathrm{R}))=3 \mathrm{n}
\operatorname{dim}(\operatorname{Pn}(\mathrm{R}))=\mathrm{n}+2
\operatorname{dim}(\operatorname{Pn}(\mathrm{R}))=\mathrm{n}+1.
\operatorname{dim}(\operatorname{Pn}(\mathrm{R}))=\mathrm{n}

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial P_n(\mathbb{R}) como o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n. A base canônica desse espaço é
\{\,1,\,x,\,x^2,\dots,x^n\}.
O que se pede é a dimensão de P_n(\mathbb{R}).

Passo 2

Pela definição, a dimensão de um espaço vetorial é igual ao número de vetores em qualquer base desse espaço. Aqui a base é
\{\,1,\,x,\,x^2,\dots,x^n\},
cujo número de elementos é contado de 0 até n, totalizando n+1 vetores.

Passo 3

Portanto, conclui-se que
\dim\bigl(P_n(\mathbb{R})\bigr)=n+1.

Resposta

\dim\bigl(P_n(\mathbb{R})\bigr)=n+1

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