Se \vec{u} e \vec{v} são linearmente independente, provar que os vetores \vec{s}=\vec{u}-2 \vec{v} e \vec{r}=3 \vec{u}+\vec{v} são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado diz que \vec{u} e \vec{v} são linearmente independentes num espaço vetorial, ou seja, a única combinação
\alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v} = \vec{0}
que dá o vetor nulo é \alpha = 0 e \beta = 0. Queremos provar que os vetores
\vec{s} = \vec{u} - 2\,\vec{v} \quad\text{e}\quad \vec{r} = 3\,\vec{u} + \vec{v}
também são linearmente independentes. Para isso, vamos usar exatamente a definição de independência linear: mostrar que a única solução de
\alpha\,\vec{s} + \beta\,\vec{r} = \vec{0}
é \alpha = \beta = 0.

Passo 2

Começamos assumindo uma combinação linear nula de \vec{s} e \vec{r}:
\alpha\,\vec{s} + \beta\,\vec{r} = \vec{0}.
Agora substituímos \vec{s} e \vec{r} em termos de \vec{u} e \vec{v}:
\alpha\bigl(\vec{u} - 2\,\vec{v}\bigr) + \beta\bigl(3\,\vec{u} + \vec{v}\bigr) = \vec{0}.

Passo 3

Distributindo e agrupando termos em \vec{u} e \vec{v}, obtemos
\alpha\,\vec{u} - 2\alpha\,\vec{v} + 3\beta\,\vec{u} + \beta\,\vec{v} = (\alpha + 3\beta)\,\vec{u} + (-2\alpha + \beta)\,\vec{v} = \vec{0}.

Passo 4

Como \vec{u}\) e \(\vec{v}\) são linearmente independentes, a única forma de \[(\alpha + 3\beta)\,\vec{u} + (-2\alpha + \beta)\,\vec{v} = \vec{0}
vale é fazendo os coeficientes iguais a zero:
\begin{cases} \alpha + 3\beta = 0,\\\\ -2\alpha + \beta = 0. \end{cases}
Resolvendo esse sistema, da segunda equação vem \beta = 2\alpha\]. Substituindo na primeira: \[\alpha + 3(2\alpha) = \alpha + 6\alpha = 7\alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 0,\] e daí \(\beta = 2\cdot 0 = 0.

Resposta

Os únicos escalares \alpha e \beta que satisfazem \alpha\,\vec{s} + \beta\,\vec{r} = \vec{0} são \alpha=0 e \beta=0. Portanto, \vec{s} e \vec{r} são linearmente independentes.

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