Se \vec{u} e \vec{v} são linearmente independente, provar que os vetores \vec{s}=\vec{u}-2 \vec{v} e \vec{r}=3 \vec{u}+\vec{v} são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado diz que \vec{u} e \vec{v} são linearmente independentes num espaço vetorial, ou seja, a única combinação
\alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v} = \vec{0}
que dá o vetor nulo é \alpha = 0 e \beta = 0. Queremos provar que os vetores
Resolvendo esse sistema, da segunda equação vem \beta = 2\alpha\]. Substituindo na primeira:
\[\alpha + 3(2\alpha) = \alpha + 6\alpha = 7\alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 0,\]
e daí \(\beta = 2\cdot 0 = 0.
Resposta
Os únicos escalares \alpha e \beta que satisfazem \alpha\,\vec{s} + \beta\,\vec{r} = \vec{0} são \alpha=0 e \beta=0. Portanto, \vec{s} e \vec{r} são linearmente independentes.