No espaço livre, a densidade de fluxo magnético é
B=y^2 ax-z^2 ay+x^2 az W b / m^2
Determine o fluxo magnético através de x=1,0.

Passo 1

Então, o exercício diz que no espaço livre a densidade de fluxo magnético é
B = y^2,ax ;-; z^2,ay ;+; x^2,az(em Wb/m$^2$)
e a gente quer calcular o fluxo magnético através da superfície plana dada por
x = 1, 0 < y < 1, 1 < z < 4
Isso faz parte de cálculo vetorial, mais especificamente de integrais de superfície de um campo vetorial (fluxo). Para resolver, vamos precisar:
  1. Identificar a superfície e seu vetor normal.
  2. Escrever o elemento de área vetorial dA.
  3. Fazer o produto escalar Bcdot dA e integrar nos limites dados.

Passo 2

Nossa superfície é plana e fica em x=1. O vetor normal unitário a ela, assumindo orientação positiva no sentido do eixo x, é
n = ax
O elemento de área vetorial é
dA = n,dS = ax,dy,dz

Passo 3

Precisamos do produto escalar
Bl(x=1,y,zr);cdot;dA
Em x=1, o campo vale
B(1,y,z) = y^2,ax ;-;z^2,ay ;+;1^2,az = y^2,ax - z^2,ay + az
Fazendo o produto escalar com ax,dy,dz, só sobrevive a componente em ax:
Bcdot dA = (y^2,ax)cdot(ax,dy,dz) = y^2,dy,dz

Passo 4

Agora é integrar em y de 0 a 1 e em z de 1 a 4:
Phi = integral duplasuperf Bcdot dA = integraly=0^1integralz=1^4 y^2,dz,dy
Primeiro integramos em z (é só multiplicar pelo comprimento em z, que é 4-1=3):
integralz=1^4 y^2,dz = y^2,(4-1) = 3,y^2
Agora em y de 0 a 1:
Phi = integral0^1 3,y^2,dy = 3;gl[y^33gr]0^1 = 3;1^33 = 1

Resposta

O fluxo magnético através da superfície é
boxedPhi = 1;Wb

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