No espaço livre, a densidade de fluxo magnético é
Determine o fluxo magnético através de
.
Passo 1
Então, o exercício diz que no espaço livre a densidade de fluxo magnético é
e a gente quer calcular o fluxo magnético através da superfície plana dada por
Isso faz parte de cálculo vetorial, mais especificamente de integrais de superfície de um campo vetorial (fluxo). Para resolver, vamos precisar:
- Identificar a superfície e seu vetor normal.
- Escrever o elemento de área vetorial
. - Fazer o produto escalar
e integrar nos limites dados.
Passo 2
Nossa superfície é plana e fica em
. O vetor normal unitário a ela, assumindo orientação positiva no sentido do eixo
, é
O elemento de área vetorial é
Passo 3
Precisamos do produto escalar
Em
Fazendo o produto escalar com
, só sobrevive a componente em
:
Passo 4
Agora é integrar em
de 0 a 1 e em
de 1 a 4:
Primeiro integramos em
(é só multiplicar pelo comprimento em
, que é
):
Agora em
de 0 a 1:
Resposta
O fluxo magnético através da superfície é