No espaço livre, a função de campo magnético é dada por \vec{H}(x, t)= 100 \cos \left(2 \pi \times 10^{7} t-\beta x+\pi / 4\right) \vec{a}_{z} \quad A / m. Encontre o valor da constante de fase e a função da intensidade de campo elétrico. (Gabarito: \beta=0,21 \mathrm{rad} / \mathrm{m}, \left.\vec{E}(x, t)=12 \pi \cos \left(2 \pi \times 10^{7} t-0,21 x+\pi / 4\right) \vec{a}_{y} \mathrm{kV} / \mathrm{m}\right)

Passo 1

O enunciado dá um onda eletromagnética plana no vácuo com \displaystyle \vec{H}(x,t)=100\cos\bigl(2\pi\times10^{7}t-\beta x+\tfrac\pi4\bigr)\,\vec{a}_z\;\mathrm{A/m}.
Queremos encontrar a constante de fase \beta e a função do campo elétrico \vec{E}(x,t).
Para isso vamos usar duas relações fundamentais em meio livre:
  1. \beta=\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=\omega/c.
  2. \vec{E}=\eta\,\vec{H}\times\hat{k}, com \eta=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}=120\pi\;\Omega e \hat{k}=\vec{a}_x (direção de propagação).

Passo 2

Calcular \beta a partir de
\beta=\frac{\omega}{c}
onde \omega=2\pi f=2\pi\times10^{7}\,\mathrm{rad/s} e c=3\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.
\beta=\frac{2\pi\times10^{7}}{3\times10^{8}} \approx0{,}21\;\mathrm{rad/m}.

Passo 3

Determinar amplitude e direção de \vec{E}.
A amplitude é
E_0=\eta\,H_0=(120\pi)\times100=12000\pi\;\mathrm{V/m}=12\pi\;\mathrm{kV/m}.
Como \vec{H}\parallel\vec{a}_z e \hat{k}=\vec{a}_x,
\vec{a}_z\times\vec{a}_x=\vec{a}_y
logo \vec{E} está ao longo de \vec{a}_y.

Passo 4

Escrever a função completa de \vec{E}(x,t) mantendo a mesma fase:
\vec{E}(x,t) =12\pi\cos\bigl(2\pi\times10^{7}t-0{,}21\,x+\tfrac\pi4\bigr)\,\vec{a}_y\;\mathrm{kV/m}.

Resposta

\beta=0{,}21\;\mathrm{rad/m} \displaystyle \vec{E}(x,t)=12\pi\cos\bigl(2\pi\times10^{7}t-0{,}21\,x+\tfrac\pi4\bigr)\,\vec{a}_y\;\mathrm{kV/m}

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