Uma onda eletromagnética de comprimento de onda igual a 35 mm se propaga no ar e incide em um meio não-magnético, alterando seu comprimento de onda para 5,8 \mathrm{~mm}. (a) Qual a frequência da onda no ar e no meio não-magnético? (b) Determine a permissividade relativa do meio não-magnético. (Gabarito: (a) f_{a r}= f_{\text {meio } 2}=8,57 \mathrm{GHz}, (b) \varepsilon_{r}=36,42 )

Passo 1

O enunciado diz que uma onda eletromagnética no ar tem comprimento de onda \lambda_{\text{ar}}=35\,\mathrm{mm} e, ao entrar num meio não-magnético, seu comprimento muda para \lambda_{2}=5,8\,\mathrm{mm}. Como o meio é não-magnético, temos \mu_r=1 e o índice de refração n=\sqrt{\varepsilon_r}. A frequência da onda não se altera na transição de meio, e usamos as relações
c = \lambda_{\text{ar}}\,f
no ar (com c\approx3\times10^8\,\mathrm{m/s}) e
v_2 = \frac{c}{n} = \lambda_2\,f
no meio, para determinar (a) a frequência e (b) a permissividade relativa \varepsilon_r.

Passo 2

Calculamos primeiro a frequência no ar usando
f = \frac{c}{\lambda_{\text{ar}}}
Convertendo \lambda_{\text{ar}}=35\,\mathrm{mm}=35\times10^{-3}\,\mathrm{m}, obtemos
f = \frac{3\times10^8}{35\times10^{-3}} =8{,}571\times10^9\\ \mathrm{Hz} \approx8{,}57\\ \mathrm{GHz}.

Passo 3

Como a frequência não muda ao passar para o segundo meio, segue-se que
f_{2}=f_{\text{ar}}=8{,}57\\ \mathrm{GHz}.

Passo 4

Para achar \varepsilon_r, usamos o fato de que
n = \sqrt{\varepsilon_r} \quad\text{e}\quad n = \frac{\lambda_{\text{ar}}}{\lambda_{2}}.
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\sqrt{\varepsilon_r} = \frac{35}{5,8} \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon_r =\Bigl(\frac{35}{5,8}\Bigr)^{2} \approx36{,}42.

Resposta

(a) \;f_{\text{ar}}=f_{2}=8{,}57\\ \mathrm{GHz}.
(b) \;\varepsilon_{r}=36{,}42.

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