Em um meio não-magnético, a função de campo elétrico que se propaga no meio é dada por:
\vec{E}(x, y, t)=2 \cos \left(3 \times 10^{6} t-2 x+3 y\right) \vec{a}_{z} \mathrm{~V} / \mathrm{m}
Encontre a direção de propagação e o vetor campo magnético. (A direção de propagação é determinada através do vetor unitário do vetor de Poynting)

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de uma onda plana em um meio não magnético:
\vec{E}(x,y,t)=2\cos\bigl(3\times10^{6}t-2x+3y\bigr)\,\vec a_{z}\quad\text{V/m}.
Queremos encontrar a direção de propagação (vetor unitário \hat k) e o campo magnético \vec H. Para isso, usamos que, em um meio homogêneo sem perdas, o vetor de onda \vec k vem do argumento de fase \omega t-\vec k\cdot\vec r e que
\vec H = \frac{1}{\eta}\,\hat k \times \vec E,
onde \eta=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} é a impedância do meio.

Passo 2

Identificamos o argumento de fase como
\varphi=3\times10^{6}t-2x+3y =\omega t - (k_x x + k_y y),
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\omega=3\times10^{6}\quad\text{rad/s},\quad k_x=2\quad\text{rad/m},\quad k_y=-3\quad\text{rad/m}.
Assim
\vec k=2\,\vec a_x - 3\,\vec a_y.

Passo 3

O módulo de \vec k é
|\vec k|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13},
portanto o vetor unitário de propagação é
\hat k=\frac{\vec k}{|\vec k|} =\frac{2\,\vec a_x-3\,\vec a_y}{\sqrt{13}}.

Passo 4

O campo magnético é dado por
\vec H(x,y,t) =\frac{1}{\eta}\,\hat k \times \vec E =\frac{2}{\eta}\cos\bigl(3\times10^{6}t-2x+3y\bigr)\; \hat k\times\vec a_z.
Calculando o produto vetorial:
\hat k\times\vec a_z =\Bigl(\frac{2}{\sqrt{13}}\vec a_x-\frac{3}{\sqrt{13}}\vec a_y\Bigr)\times\vec a_z =-\frac{3}{\sqrt{13}}\vec a_x-\frac{2}{\sqrt{13}}\vec a_y.
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\vec H(x,y,t) =-\frac{6}{\eta\sqrt{13}}\cos\bigl(3\times10^{6}t-2x+3y\bigr)\,\vec a_x -\frac{4}{\eta\sqrt{13}}\cos\bigl(3\times10^{6}t-2x+3y\bigr)\,\vec a_y.

Resposta

Direção de propagação:
\hat k=\frac{2\,\vec a_x-3\,\vec a_y}{\sqrt{13}}.
Campo magnético:
\vec H(x,y,t) =-\frac{6}{\eta\sqrt{13}}\cos\bigl(3\times10^{6}t-2x+3y\bigr)\,\vec a_x -\frac{4}{\eta\sqrt{13}}\cos\bigl(3\times10^{6}t-2x+3y\bigr)\,\vec a_y,
com \eta=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}.

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