Uma onda eletromagnética se propagando no espaço livre possui amplitude de seu campo elétrico no valor de 10 \mathrm{~V} / \mathrm{m}. O campo elétrico se propaga na direção \vec{a}_{y} com frequência 2 GHz . Se o vetor \vec{E} só possui componente \vec{a}_{z}, encontre a função do campo elétrico em sua forma instantânea. Determine também a função instantânea da intensidade de campo magnético. (Gabarito: \vec{E}(y, t)= 10 \cos \left(4 \pi \times 10^{9}-41,89 y\right) \vec{a}_{z} V / m, \quad \vec{H}(y, t)=26,5 \cos \left(4 \pi \times 10^{9}-\right. 41,89y) \vec{a}_{x} m A / m )

Passo 1

O enunciado descreve uma onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo ao longo de \vec a_{y}, com o campo elétrico polarizado em \vec a_{z}, amplitude máxima E_{0}=10,V/m e frequência f=2 GHz. Para obter a forma instantânea de \vec E(y,t) e \vec H(y,t) usaremos:
  1. A relação \omega=2\pi f.
  2. A velocidade de propagação no vácuo c=3\times10^{8},m/s e a constante de fase k=\omega/c.
  3. A forma geral de onda plana no vácuo
\vec E(y,t)=E_{0}\cos\bigl(\omega t - k y\bigr)\,\vec a_{z},
\vec H(y,t)=\frac{E_{0}}{\eta_{0}}\cos\bigl(\omega t - k y\bigr)\,\vec a_{x},
onde \eta_{0}=377,Ω é a impedância do vácuo e a direção de \vec H vem do produto vetorial \vec k\times\vec E.

Passo 2

Calcular \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\times2\times10^{9} = 4\pi\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Calcular k:
k = \frac{\omega}{c} = \frac{4\pi\times10^{9}}{3\times10^{8}} \approx 41{,}89\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 4

Substituindo em \vec E(y,t):
\vec E(y,t) =10\cos\bigl(4\pi\times10^{9}\,t - 41{,}89\,y\bigr)\,\vec a_{z}\quad\mathrm{V/m}.

Passo 5

Calcular a amplitude de \vec H:
H_{0} = \frac{E_{0}}{\eta_{0}} = \frac{10}{377}\approx0{,}0265\\ \mathrm{A/m} =26{,}5\\ \mathrm{mA/m}.
A direção é \vec a_{x}.

Resposta

\displaystyle \vec E(y,t)=10\cos\bigl(4\pi\times10^{9}\,t-41{,}89\,y\bigr)\,\vec a_{z}\\ \mathrm{V/m}, \displaystyle \vec H(y,t)=26{,}5\cos\bigl(4\pi\times10^{9}\,t-41{,}89\,y\bigr)\,\vec a_{x}\\ \mathrm{mA/m}.

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