Seja T: R^n R^n dado por T(x1, ldots, xn)=(x1, ldots, xn). Determine o polinômio minimal de T.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^ntoR^n definida por
T(x1,dots,xn)=(x1,dots,xn),
isto é, T é a aplicação identidade em R^n. Queremos determinar o polinômio mínimo de T, ou seja, o polinômio monico de menor grau m(lambda) tal que m(T)=0.

Passo 2

Pela definição de T temos
T - I = 0,
pois (T-I)(x)=T(x)-x=0 para todo x. Logo o polinômio
p(lambda)=lambda - 1
anula T, isto é, p(T)=T-I=0.

Passo 3

Para ver que não existe polinômio monico de grau zero que anule T, basta notar que o único polinômio de grau zero monico é 1, e 1(T)=Ineq0. Portanto o grau mínimo é 1 e o polinômio mínimo de T é
mT(lambda)=lambda - 1

Resposta

O polinômio minimal de T é
lambda - 1

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