No espaço das matrizes triangulares superiores, considere as bases beta e alpha dadas por
beta=[ll 1 & 0 0 & 0 ],[ll 0 & 1 0 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 ], alpha=[ll 1 & 0 0 & 0 ],[ll 1 & 1 0 & 0 ],[ll 1 & 1 0 & 1 ]
Ache a matrix mudança de base [I]beta^alpha.

Passo 1

Vamos ao enunciado: estamos no espaço das matrizes 2×2 triangulares superiores, com duas bases dadas: beta=E11,E12,E22 e alpha=A1,A2,A3, onde
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E22=0&00&1
e
A1=1&00&0, A2=1&10&0, A3=1&10&1
Precisamos achar a matriz de mudança de base [I]beta^alpha, que pega coordenadas em beta e devolve em alpha.

Passo 2

Para montar [I]beta^alpha, aplicamos o operador identidade em cada vetor de beta (ou seja, usamos o próprio vetor) e expressamos esse vetor em coordenadas da base alpha. Cada coluna da matriz resultante são essas coordenadas.

Passo 3

O primeiro vetor de beta é E11=1&00&0. Note que isso é exatamente A1. Logo, em coordenadas alpha ele é
(1,0,0)^T

Passo 4

O segundo vetor de beta é E12=0&10&0. Observamos que
A2 - A1 = 1&10&0 - 1&00&0 = 0&10&0
Então em coordenadas alpha é
(-1,1,0)^T

Passo 5

O terceiro vetor de beta é E22=0&00&1. Vemos que
A3 - A2 = 1&10&1 - 1&10&0 = 0&00&1
Logo, sua coordenada em alpha é
(0,-1,1)^T

Passo 6

Agora juntamos essas coordenadas como colunas, na ordem dos vetores de beta. Assim obtemos
[I]beta^alpha = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1

Resposta

1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1

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