No espaço vetorial V das matrizes (llx & y 0 & z), x, y, z in R, considere as bases
beta=(ll 1 & 0 0 & 0 ),(ll 0 & 1 0 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 ) e beta^prime=(ll 1 & 0 0 & 0 ),(ll 1 & 1 0 & 0 ),(ll 1 & 1 0 & 1 )
Funcontre as matrizes de mudança [I]beta^beta^prime e [I]beta^prime^beta.

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial V das matrizes
x & y 0 & z , x,y,zinR,
e nos dá duas bases
beta=lb1,b2,b3r e beta'=lb1',b2',b3'r,
onde
b1=1&00&0,; b2=0&10&0,; b3=0&00&1,
b1'=1&00&0,; b2'=1&10&0,; b3'=1&10&1
Pedem-se as matrizes de mudança de base [I]beta^beta' e [I]beta'^beta.

Passo 2

Para obter [I]beta^beta', expressamos cada bj da base beta como combinação linear dos vetores de beta'.
  1. b1=b1', logo suas coordenadas em beta' são ;(1,0,0)^T.
  2. b2=0&10&0=b2'-b1', então as coordenadas são (-1,1,0)^T.
  3. b3=0&00&1=b3'-b2', então as coordenadas são (0,-1,1)^T.
    Colocando essas colunas em ordem,
[I]beta^beta'= 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1

Passo 3

Para [I]beta'^beta, expressamos cada bj' em coordenadas na base beta:
  1. b1'=b1 (1,0,0)^T.
  2. b2'=b1+b2 (1,1,0)^T.
  3. b3'=b1+b2+b3 (1,1,1)^T.
    Assim,
[I]beta'^beta= 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1

Resposta

[I]beta^beta'=1 & -1 & 00 & 1 & -10 & 0 & 1
[I]beta'^beta=1 & 1 & 10 & 1 & 10 & 0 & 1

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