No espaço dos polinômios de grau <= 2, P2(R), sejam p(x)=2+x^2 e as bases beta= [p]beta,[p]gamma e e [I]gamma^beta e[I]beta^gamma, a base canônica. Encontre as matrizes de mudança de base .

Passo 1

O exercício pede para trabalhar no espaço P2(R), achar as coordenadas do polinômio p(x)=2+x^2 nas bases beta=2,1-x,1-x^2 e gamma=1,x,x^2, e também encontrar as matrizes de mudança de base [I]gamma^beta e [I]beta^gamma. Vamos precisar usar a definição de coordenadas em uma base (resolver combinações lineares) e a construção de matrizes de mudança de base cujas colunas são essas coordenadas.

Passo 2

Começando por [p]gamma: como gamma é a base canônica, basta ler os coeficientes de p(x)=2+0,x+1,x^2. Logo,
[p]gamma=201.

Passo 3

Para [p]beta, escrevemos p(x)=c1cdot2+c2(1-x)+c3(1-x^2) e igualamos coeficientes. Expandindo,
2c1+c2+c3 +(-c2)x+(-c3)x^2 ,=,2+0,x+1,x^2 Daí temos o sistema
2c1+c2+c3=2, -c2=0, -c3=1 Resolvem-se c2=0, c3=-1 e 2c1-1=2 c1=3/2. Logo,
[p]beta=3/20-1.

Passo 4

Para montar [I]gamma^beta (que leva coordenadas em beta para coordenadas em gamma), colocamos como colunas os vetores de beta escritos na base canônica gamma:
2=[2;0;0],;1-x=[1;-1;0],;1-x^2=[1;0;-1] Assim,
[I]gamma^beta=2 & 1 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

Passo 5

Para [I]beta^gamma (o inverso), expressamos cada vetor de gamma em beta. Resolvendo
1=tfrac12cdot2+0(1-x)+0(1-x^2), x=tfrac12cdot2+(-1)(1-x)+0(1-x^2), x^2=tfrac12cdot2+0(1-x)+(-1)(1-x^2),
obtemos as colunas
[1]beta=(1/2,0,0)^T,,[x]beta=(1/2,-1,0)^T,,[x^2]beta=(1/2,0,-1)^T Logo,
[I]beta^gamma=1/2 & 1/2 & 1/2 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

[p]beta=3/20-1, [p]gamma=201
[I]gamma^beta=2 & 1 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1, [I]beta^gamma=1/2 & 1/2 & 1/2 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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