No espaço dos polinômios de grau , sejam e as bases e , a base canônica. Encontre as matrizes de mudança de base .
Passo 1
O exercício pede para trabalhar no espaço , achar as coordenadas do polinômio nas bases e , e também encontrar as matrizes de mudança de base e . Vamos precisar usar a definição de coordenadas em uma base (resolver combinações lineares) e a construção de matrizes de mudança de base cujas colunas são essas coordenadas.
Passo 2
Começando por : como é a base canônica, basta ler os coeficientes de . Logo, .
Passo 3
Para [p]beta, escrevemos p(x)=c1cdot2+c2(1-x)+c3(1-x^2) e igualamos coeficientes. Expandindo,
2c1+c2+c3 +(-c2)x+(-c3)x^2 ,=,2+0,x+1,x^2 Daí temos o sistema
Para montar [I]gamma^beta (que leva coordenadas em beta para coordenadas em gamma), colocamos como colunas os vetores de beta escritos na base canônica gamma: 2=[2;0;0],;1-x=[1;-1;0],;1-x^2=[1;0;-1] Assim,
[I]gamma^beta=2 & 1 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
Passo 5
Para [I]beta^gamma (o inverso), expressamos cada vetor de gamma em beta. Resolvendo 1=tfrac12cdot2+0(1-x)+0(1-x^2), x=tfrac12cdot2+(-1)(1-x)+0(1-x^2), x^2=tfrac12cdot2+0(1-x)+(-1)(1-x^2),
obtemos as colunas [1]beta=(1/2,0,0)^T,,[x]beta=(1/2,-1,0)^T,,[x^2]beta=(1/2,0,-1)^T Logo,