Questão 3. Considere as seguintes matrizes:
e
.
a) Determine
e
.
b) Determine
e
.
c) Mostre que as matrizes
e
comutam (isto é,
) e
e
não comutam (isto é,
).
a) Determine
b) Determine
c) Mostre que as matrizes
Passo 1
Na questão temos operações de combinação linear e multiplicação de matrizes envolvendo as matrizes A, B, C, D e E. Vamos usar:
- multiplicação escalar para combinações lineares,
- definição de soma/subtração elemento a elemento,
- definição de multiplicação de matrizes (soma dos produtos das linhas pelas colunas),
- conceito de comutatividade (AB = BA).
Passo 2
Para calcular 5A - 2B, aplicamos multiplicação escalar e depois subtração de matrizes:
[
]
Em seguida subtraímos elemento a elemento:
[
]
Passo 3
Para calcular 2A + 3B, fazemos a multiplicação escalar e soma de matrizes:
[
]
Somando elemento a elemento obtenho:
[
]
Passo 4
Para calcular A^2 = A A, usamos multiplicação de matrizes: cada elemento (i,j) é a soma dos produtos da linha i de A pela coluna j de A. Isso dá:
[
]
Passo 5
Para calcular A C, multiplicamos A (2×2) por C (2×3): cada elemento é a soma dos produtos da linha de A pela coluna de C. Assim:
[
]
Passo 6
Agora mostramos que D e E comutam. Primeiro calculamos DE:
[
]
Depois ED:
[
]
Como DE = ED, elas comutam.
Passo 7
Por fim, mostramos que A e B não comutam. Calculamos AB:
[
]
E BA:
[
]
Como AB ≠ BA, A e B não comutam.
Resposta
5A - 2B =
[
]
2A + 3B =
[
]
A^2 =
[
]
AC =
[
]
DE = ED =
[
]
AB =
[
]
BA =
[
]
Portanto, D e E comutam e A e B não comutam.