Questão 3. Considere as seguintes matrizes: cc1 & 2 3 & -4 e cc5 & 0 -6 & 7.
a) Determine ccc1 & -3 & 4 2 & 6 & -5 e ll1 & 2 3 & 4.
b) Determine cc5 & 4 6 & 11 e 5 A-2 B.
c) Mostre que as matrizes 2 A+3 B e A^2=A A comutam (isto é, A C ) e D e E não comutam (isto é, D E=E D ).

Passo 1

Na questão temos operações de combinação linear e multiplicação de matrizes envolvendo as matrizes A, B, C, D e E. Vamos usar:
  • multiplicação escalar para combinações lineares,
  • definição de soma/subtração elemento a elemento,
  • definição de multiplicação de matrizes (soma dos produtos das linhas pelas colunas),
  • conceito de comutatividade (AB = BA).

Passo 2

Para calcular 5A - 2B, aplicamos multiplicação escalar e depois subtração de matrizes:
[ 5A = 5 & 10 15 & -20, 2B = 10 & 0 -12 & 14 ]
Em seguida subtraímos elemento a elemento:
[ 5A - 2B = -5 & 10 27 & -34 ]

Passo 3

Para calcular 2A + 3B, fazemos a multiplicação escalar e soma de matrizes:
[ 2A = 2 & 4 6 & -8, 3B = 15 & 0 -18 & 21 ]
Somando elemento a elemento obtenho:
[ 2A + 3B = 17 & 4 -12 & 13 ]

Passo 4

Para calcular A^2 = A A, usamos multiplicação de matrizes: cada elemento (i,j) é a soma dos produtos da linha i de A pela coluna j de A. Isso dá:
[ A^2 = 7 & -6 -9 & 22 ]

Passo 5

Para calcular A C, multiplicamos A (2×2) por C (2×3): cada elemento é a soma dos produtos da linha de A pela coluna de C. Assim:
[ A C = 5 & 9 & -6 -5 & -33 & 32 ]

Passo 6

Agora mostramos que D e E comutam. Primeiro calculamos DE:
[ DE = 17 & 26 39 & 56 ]
Depois ED:
[ ED = 17 & 26 39 & 56 ]
Como DE = ED, elas comutam.

Passo 7

Por fim, mostramos que A e B não comutam. Calculamos AB:
[ AB = -7 & 14 39 & -28 ]
E BA:
[ BA = 5 & 10 15 & -40 ]
Como AB ≠ BA, A e B não comutam.

Resposta

5A - 2B =
[ -5 & 10 27 & -34 ]
2A + 3B =
[ 17 & 4 -12 & 13 ]
A^2 =
[ 7 & -6 -9 & 22 ]
AC =
[ 5 & 9 & -6 -5 & -33 & 32 ]
DE = ED =
[ 17 & 26 39 & 56 ]
AB =
[ -7 & 14 39 & -28 ]
BA =
[ 5 & 10 15 & -40 ]
Portanto, D e E comutam e A e B não comutam.

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