Exercício 17 Para cada uma das afirmações a seguir diga se é verdadeira ou falsa. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo.
Em cada um dos itens
denota um espaço vetorial de dimensão finita.
- Se os únicos subespaços vetoriais de
são
e o próprio
então
.
- Existem base
e
de
tal que
.
- Se
é um subespaço vetorial então
tem dimensão finita e
.
- Se
é um subespaço vetorial
é um subconjunto l.i. contido em
então
.
- Se
é um conjunto gerador então o número de elementos de
é o mesmo que a dimensão de
.
- Se
é um conjunto l.i. então o número de elementos de
é o mesmo que a dimensão de
.
Passo 1
O enunciado pede para testar seis afirmações sobre um espaço vetorial finito dimensional
, envolvendo subespaços, independência, geradores, dimensão e determinantes de mudança de base. Vamos usar conceitos-chave: definição de dimensão (tamanho máximo de um conjunto l.i.), teorema da dimensão para subespaços, e a propriedade de que toda matriz de mudança de base tem determinante não nulo.
Passo 2
Para o item 1, se os únicos subespaços de
são
e
então não existe nenhuma reta própria em
. Mas em qualquer espaço de dimensão
sempre aparece um subespaço de dimensão 1 (a reta gerada por qualquer vetor não nulo). Logo, a única possibilidade de não ter subespaços próprios é
. Portanto essa afirmativa é verdadeira.
Passo 3
No item 2, considere que para quaisquer duas bases
e
de
, a matriz
é justamente a matriz de passagem entre elas, e sabemos que toda matriz de mudança de base é invertível, ou seja, tem determinante diferente de zero. Então não existe par de bases que dê determinante zero. Assim, a afirmação de que existe tal par é falsa. Um contraexemplo genérico: em
, escolha bases qualquer, sempre
.
Passo 4
No item 3, como
é de dimensão finita, temos o teorema que todo subespaço
também é de dimensão finita e satisfaz
. Isso vem de estender uma base de
até uma base de
. Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 5
No item 4, se
contém um conjunto
que é l.i., então esse conjunto tem tamanho igual a
e, por definição de dimensão, já é uma base de
. Como toda base de
gera
, temos
. Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 6
No item 5, um conjunto gerador de
deve ter pelo menos
elementos, mas pode ter mais. Por exemplo, em
o conjunto
gera o espaço mas tem 3 elementos, não igual a
. Logo a afirmação é falsa.
Passo 7
No item 6, um conjunto l.i. de
pode ter menos elementos que a dimensão. Por exemplo, em
o conjunto
é l.i. mas tem 2 elementos, não igual a
. Portanto a afirmação é falsa.
Resposta
- Verdadeira
- Falsa
- Verdadeira
- Verdadeira
- Falsa
- Falsa