Exercício 17 Para cada uma das afirmações a seguir diga se é verdadeira ou falsa. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo.
Em cada um dos itens V neq0 denota um espaço vetorial de dimensão finita.
  1. Se os únicos subespaços vetoriais de V são 0 e o próprio V então dim V=1.
  2. Existem base alpha e beta de V tal que det[I]beta^alpha=0.
  3. Se W subset V é um subespaço vetorial então W tem dimensão finita e dim W <= dim V.
  4. Se W subset V é um subespaço vetorial W é um subconjunto l.i. contido em W=V então X subset V.
  5. Se X é um conjunto gerador então o número de elementos de V é o mesmo que a dimensão de X subset V.
  6. Se X é um conjunto l.i. então o número de elementos de V é o mesmo que a dimensão de .

Passo 1

O enunciado pede para testar seis afirmações sobre um espaço vetorial finito dimensional Vneq0, envolvendo subespaços, independência, geradores, dimensão e determinantes de mudança de base. Vamos usar conceitos-chave: definição de dimensão (tamanho máximo de um conjunto l.i.), teorema da dimensão para subespaços, e a propriedade de que toda matriz de mudança de base tem determinante não nulo.

Passo 2

Para o item 1, se os únicos subespaços de V são 0 e V então não existe nenhuma reta própria em V. Mas em qualquer espaço de dimensão n>=2 sempre aparece um subespaço de dimensão 1 (a reta gerada por qualquer vetor não nulo). Logo, a única possibilidade de não ter subespaços próprios é dim V=1. Portanto essa afirmativa é verdadeira.

Passo 3

No item 2, considere que para quaisquer duas bases alpha e beta de V, a matriz [I]beta^alpha é justamente a matriz de passagem entre elas, e sabemos que toda matriz de mudança de base é invertível, ou seja, tem determinante diferente de zero. Então não existe par de bases que dê determinante zero. Assim, a afirmação de que existe tal par é falsa. Um contraexemplo genérico: em R^2, escolha bases qualquer, sempre det[I]neq0.

Passo 4

No item 3, como V é de dimensão finita, temos o teorema que todo subespaço Wsubset V também é de dimensão finita e satisfaz dim W<=dim V. Isso vem de estender uma base de W até uma base de V. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 5

No item 4, se Wsubset V contém um conjunto v1,dots,vdim V que é l.i., então esse conjunto tem tamanho igual a dim V e, por definição de dimensão, já é uma base de V. Como toda base de V gera V, temos W=V. Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 6

No item 5, um conjunto gerador de V deve ter pelo menos dim V elementos, mas pode ter mais. Por exemplo, em R^2 o conjunto (1,0),(0,1),(1,1) gera o espaço mas tem 3 elementos, não igual a 2=dim R^2. Logo a afirmação é falsa.

Passo 7

No item 6, um conjunto l.i. de V pode ter menos elementos que a dimensão. Por exemplo, em R^3 o conjunto (1,0,0),(0,1,0) é l.i. mas tem 2 elementos, não igual a 3=dim R^3. Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Falsa
  3. Verdadeira
  4. Verdadeira
  5. Falsa
  6. Falsa

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