Mostre que as matrizes (ll1 & 1 0 & 0),(ll2 & 1 0 & 0),(ll0 & 1 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 2) formam uma base de M2(R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as matrizes
A=1&10&0, B=2&10&0, C=0&11&0, D=0&00&2
formam uma base de M2(R). O conteúdo envolvido é teoria de espaço vetorial: sabemos que dim M2(R)=4 e que uma base é um conjunto de vetores (aqui matrizes) que seja linearmente independente e que gere todo o espaço.

Passo 2

Como dim M2(R)=4 e temos exatamente quatro matrizes, basta provar que elas são linearmente independentes. Em outras palavras, mostremos que
alpha A + beta B + gamma C + de<a D = 0
implica alpha=beta=gamma=de<a=0.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear, temos
alpha1&10&0 +beta2&10&0 +gamma0&11&0 +de<a0&00&2 = alpha+2beta & alpha+beta+gamma[6pt] gamma & 2de<a = 0&00&0
Igualando cada entrada a zero, obtemos o sistema
alpha + 2beta = 0, alpha + beta + gamma = 0, gamma = 0, 2de<a = 0
Da terceira equação vem gamma=0, da quarta de<a=0. Substituindo gamma=0 no segundo, fica alpha+beta=0. Juntando com alpha+2beta=0, subtraímos uma da outra para achar beta=0 e daí alpha=0.]

Passo 4

Como a única solução é alpha=beta=gamma=de<a=0, concluímos que A,B,C,D são linearmente independentes. Em um espaço de dimensão 4, quatro vetores l.i. formam base. Logo,
A,B,C,D
é uma base de M2(R).

Resposta

As quatro matrizes são linearmente independentes em M2(R). Como são exatamente quatro num espaço de dimensão quatro, elas formam uma base de M2(R).

Exercícios relacionados