No espaço R^3 consideremos as bases B=e1, e2, e3 e C=g1, g2, g3 relacionadas da seguinte maneira:
(i) g1=e1+e3
(ii) g2=2 e1+e2+e3
(iii) g3=e1+2 e2+e3.
(a) Determine a matriz de mudança de B para C e de C para B.
(b) Se as coordenadas de um vetor u em relação à base B são 1,1 e 2 , quais são as coordenadas desse vetor em relação à base C ?

Passo 1

O enunciado apresenta duas bases de R^3: a base canônica
B=e1,e2,e3 e a base
C=g1,g2,g3 em que
g1=e1+e3, g2=2e1+e2+e3, g3=e1+2e2+e3
Pede-se
(a) as matrizes de mudança de base BtoC e CtoB,
(b) dadas as coordenadas de u em B iguais a (1,1,2), encontrar suas coordenadas em C.

Passo 2

Para obter a matriz de mudança de C para B, escrevemos cada gj em coordenadas da base B e usamos essas coordenadas como colunas da matriz
P ;=; 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1
Então vale
[x]B ;=; P,[x]C

Passo 3

A matriz de mudança de B para C é a inversa de P.
Para invertê-la, calculamos det(P) e a matriz adjunta de P.

Passo 4

O determinante de P é
det(P)=2
A matriz dos cofatores é
Cof(P) = -1 & 2 & -1 -1 & 0 & 1 3 & -2 & 1 ,
cuja transposta (adjunta) é
adj(P) = -1 & -1 & 3 2 & 0 & -2 -1 & 1 & 1
Logo
P^-1 =12,adj(P) = -tfrac12 & -tfrac12 & tfrac32 1 & 0 & -1 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12

Passo 5

Concluímos que
MCtoB =P = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 , MBtoC =P^-1 = -tfrac12 & -tfrac12 & tfrac32 1 & 0 & -1 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12

Passo 6

Para achar as coordenadas de u em C, usamos
[u]C = MBtoC,[u]B = -tfrac12 & -tfrac12 & tfrac32 1 & 0 & -1 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 112 =2-11

Resposta

Matriz de mudança de C para B:
1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 ,
de B para C:
-tfrac12 & -tfrac12 & tfrac32 1 & 0 & -1 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 ,
e as coordenadas de u em C são
(2,,-1,,1).

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