A matriz de mudança da base
para base
, ambas do mesmo subespaço de
, é
. Determine a base
C .
Passo 1
O enunciado está no contexto de mudança de base em um subespaço de
P2(R) . Temos a base
C1=v1,v2 com
e uma base desconhecida
C=u1,u2 do mesmo subespaço. A matriz de mudança de coordenadas de
C1 para
C é
o que significa que, para qualquer vetor
v ,
Em particular, as colunas de
M são as coordenadas de
v1 e
v2 na base
C .
Passo 2
Seja
[v1]C=(1,1)^T e
[v2]C=(2,-1)^T . Isso dá as equações em termos de
u1,u2 :
Passo 3
Escrevemos o sistema
Somando as duas equações obtemos
Em seguida, de
u2=v1-u1 segue
Passo 4
Substituímos
v1=1+t e
v2=1-t^2 :
Como um conjunto de base pode ser escalado livremente, podemos multiplicar cada
ui por
3 para obter polinômios mais simples.