A matriz de mudança da base C1=1+t, 1-t^2 para base C, ambas do mesmo subespaço de P2(R), é [cc1 & 2 1 & -1]. Determine a base C.

Passo 1

O enunciado está no contexto de mudança de base em um subespaço de P2(R). Temos a base C1=v1,v2 com
v1=1+t, v2=1-t^2,
e uma base desconhecida C=u1,u2 do mesmo subespaço. A matriz de mudança de coordenadas de C1 para C é
M=1 & 21 & -1,
o que significa que, para qualquer vetor v,
[v]C ;=; M,[v]C1
Em particular, as colunas de M são as coordenadas de v1 e v2 na base C.

Passo 2

Seja [v1]C=(1,1)^T e [v2]C=(2,-1)^T. Isso dá as equações em termos de u1,u2:
v1=1cdot u1+1cdot u2,
v2=2cdot u1+(-1)cdot u2

Passo 3

Escrevemos o sistema
u1+u2=v1, 2u1-u2=v2
Somando as duas equações obtemos
3,u1=v1+v2 Longrightarrow u1=tfrac13(v1+v2)
Em seguida, de u2=v1-u1 segue
u2=;v1-tfrac13(v1+v2) =tfrac23v1-tfrac13v2

Passo 4

Substituímos v1=1+t e v2=1-t^2:
u1=tfrac13l((1+t)+(1-t^2)r) =tfrac13(2 + t - t^2),
u2=tfrac23(1+t)-tfrac13(1-t^2) =tfrac13(1 + 2t + t^2)
Como um conjunto de base pode ser escalado livremente, podemos multiplicar cada ui por 3 para obter polinômios mais simples.

Resposta

C=,2 + t - t^2,;1 + 2t + t^2

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