Exercício 13 Sejam a e b dois números pertencentes conjunto dos naturais N=1,2,3, ldots. Determine a interseção dos conjuntos
M(a)=a, 2 a, 3 a, ldots e M(b)=b, 2 b, 3 b, ldots

Passo 1

O enunciado define
M(a)=a,2a,3a,dots e M(b)=b,2b,3b,dots para a,binN e pede
M(a),cap,M(b)
O conteúdo usado será a noção de múltiplo comum e, em particular, o mínimo múltiplo comum (mmc).

Passo 2

Seja nin M(a)cap M(b). Então existem i,jinN tais que
n = i,a e n = j,b
Isso significa que amid n e bmid n, ou seja, n é um múltiplo comum de a e b.

Passo 3

Definimos
ell = lcm(a,b),
que é, por definição, o menor número natural que é múltiplo de a e de b. Uma propriedade fundamental do mmc é:
se n é múltiplo comum de a e b, então ellmid n. Logo existe kinN tal que
n = k,ell

Passo 4

Pelo passo anterior, qualquer elemento de M(a)cap M(b) é da forma k,ell. Reciprocamente, todo k,ell é múltiplo de a e de b, logo pertence a M(a) e a M(b). Portanto
M(a),cap,M(b) =k,ellmid kinN =M(ell)

Resposta

M(a),cap,M(b) ;=; Ml(lcm(a,b)r) ;=;lk,lcm(a,b)mid kinNr

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