é espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se isso é um espaço vetorial sobre o corpo
. Para responder, vamos usar a definição de espaço vetorial: precisamos apresentar adição e multiplicação escalar em
e verificar os axiomas.
Passo 2
Definimos em
as operações ponto a ponto:
Para quaisquer e
, seja
Para quaisquer
para todo
.
Passo 3
Fechamento e elementos especiais:
- Se
, então porque soma de reais é real. - Se
e , então . - A função nula
, dada por , pertence a e é o elemento neutro aditivo. - Para cada
, o inverso aditivo é definido por .
Passo 4
Propriedades aditivas em
:
- Comutatividade:
. - Associatividade:
. - Existência de neutro e inverso já vistos.
Passo 5
Propriedades envolvendo escalar:
- Distributividade sobre vetores:
- Distributividade sobre escalares:
- Compatibilidade de produto de escalares:
- Identidade escalar:
Resposta
Sim,
é um espaço vetorial sobre
com as operações ponto a ponto definidas acima.