V=f(X, R) é espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado define
V = ,fcolon X to R,
e pergunta se isso é um espaço vetorial sobre o corpo R. Para responder, vamos usar a definição de espaço vetorial: precisamos apresentar adição e multiplicação escalar em V e verificar os axiomas.

Passo 2

Definimos em V as operações ponto a ponto:
Para quaisquer f,g in V e alphainR, seja
(f+g)(x) = f(x) + g(x),
(alpha,f)(x) = alpha,f(x),
para todo xin X.

Passo 3

Fechamento e elementos especiais:
  1. Se f,gcolon XtoR, então f+gcolon XtoR porque soma de reais é real.
  2. Se alphainR e fcolon XtoR, então alpha fcolon XtoR.
  3. A função nula ,0Vcolon XtoR, dada por 0V(x)=0, pertence a V e é o elemento neutro aditivo.
  4. Para cada fin V, o inverso aditivo é -f definido por (-f)(x)=-,f(x).

Passo 4

Propriedades aditivas em V:
  1. Comutatividade: (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x).
  2. Associatividade: ((f+g)+h)(x)=f(x)+g(x)+h(x)= (f+(g+h))(x).
  3. Existência de neutro e inverso já vistos.

Passo 5

Propriedades envolvendo escalar:
  1. Distributividade sobre vetores:
(alpha(f+g))(x)=alphal(f(x)+g(x)r)=alpha f(x)+alpha g(x)=l(alpha f+alpha gr)(x)
  1. Distributividade sobre escalares:
((alpha+beta)f)(x)=(alpha+beta)f(x)=alpha f(x)+beta f(x)=(alpha f+beta f)(x)
  1. Compatibilidade de produto de escalares:
((alphabeta)f)(x)=alphabeta,f(x)=(alpha(beta f))(x)
  1. Identidade escalar:
(1cdot f)(x)=1cdot f(x)=f(x)

Resposta

Sim, V=f(X,R) é um espaço vetorial sobre R com as operações ponto a ponto definidas acima.

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