Mostre que é um subespaço
Passo 1
O enunciado define o conjunto por
Para mostrar que
é um subespaço vetorial de , precisamos verificar três propriedades:
-
contém o vetor nulo. -
é fechado sob soma vetorial. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor nulo
satisfaz a condição de definição, pois
Logo
.
Passo 3
Sejam
e
dois vetores em
. Então
A soma é
e temos
Portanto
, mostrando a fechadura na soma.
Passo 4
Seja e
, isto é,
. O produto escalar é
e
Logo
, mostrando a fechadura na multiplicação por escalar.
Passo 5
Como
contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de .
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de .