Mostre que é um subespaço
u=(x, y, z) in R^3 / x+z=0

Passo 1

O enunciado define o conjunto por
Para mostrar que é um subespaço vetorial de , precisamos verificar três propriedades:
  1. contém o vetor nulo.
  2. é fechado sob soma vetorial.
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo (0,0,0) satisfaz a condição de definição, pois
0 + 0 = 0
Logo (0,0,0)in u.

Passo 3

Sejam a=(x1,y1,z1) e b=(x2,y2,z2) dois vetores em u. Então
x1 + z1 = 0 e x2 + z2 = 0
A soma é
a + b = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e temos
(x1+x2)+(z1+z2) = (x1+z1)+(x2+z2) = 0 + 0 = 0
Portanto a+bin u, mostrando a fechadura na soma.

Passo 4

Seja e , isto é, . O produto escalar é
e
Logo , mostrando a fechadura na multiplicação por escalar.

Passo 5

Como contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

Resposta

O conjunto é um subespaço vetorial de .

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