Seja V o espaço vetorial real de todas as funções de R em R. Quais dos seguintes conjuntos de funções são subespaços de V ?
(i) de todas as funções f tais que f(x^2)=[f(x)]^2.

Passo 1

O enunciado diz que V é o espaço vetorial real de todas as funções RtoR. Queremos ver se o subconjunto
W = l,f: RtoRmid f(x^2) = [f(x)]^2 para todo xinRr
é um subespaço de V. Para isso, vamos usar os critérios de subespaço:
  1. A função zero deve pertencer a W.
  2. W deve ser fechado sob soma: se f,gin W então f+gin W.
  3. W deve ser fechado sob multiplicação escalar: se fin W e cinR então c,fin W.

Passo 2

Verificamos a função zero, f0(x)=0 para todo x. Então
f0(x^2)=0, [f0(x)]^2 = 0^2 = 0,
logo f0(x^2)=[f0(x)]^2 e assim f0in W. Portanto o conjunto não está vazio.

Passo 3

Testamos a soma. Se f,gin W, então
(f+g)(x^2) = f(x^2)+g(x^2) = [f(x)]^2 + [g(x)]^2,
enquanto
[f+g](x)^2 = l(f(x)+g(x)r)^2 = [f(x)]^2 + 2,f(x),g(x) + [g(x)]^2
Em geral [f(x)]^2 + [g(x)]^2 neq [f(x)]^2 + 2,f(x),g(x) + [g(x)]^2. Logo f+gnotin W em geral, e W não é fechado sob soma.

Passo 4

Para ser completo, checamos a multiplicação escalar. Se fin W e cinR, então
(c,f)(x^2) = c,f(x^2) = c,[f(x)]^2,
porém
[c,f](x)^2 = l(c,f(x)r)^2 = c^2,[f(x)]^2
A igualdade c,[f(x)]^2 = c^2,[f(x)]^2 só vale para todo x se c=c^2, isto é, se c=0 ou c=1. Logo não está fechado para escalares arbitrários.

Resposta

O conjunto fmid f(x^2)=[f(x)]^2 não é subespaço de V.

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