Seja
o espaço vetorial real de todas as funções de
em
. Quais dos seguintes conjuntos de funções são subespaços de
?
(i) de todas as funções
tais que
.
(i) de todas as funções
Passo 1
O enunciado diz que
é o espaço vetorial real de todas as funções
. Queremos ver se o subconjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar os critérios de subespaço:
- A função zero deve pertencer a
. -
deve ser fechado sob soma: se então . -
deve ser fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Passo 2
Verificamos a função zero,
para todo
. Então
logo
e assim
. Portanto o conjunto não está vazio.
Passo 3
Testamos a soma. Se
, então
enquanto
Em geral
. Logo
em geral, e
não é fechado sob soma.
Passo 4
Para ser completo, checamos a multiplicação escalar. Se
e
, então
porém
A igualdade
só vale para todo
se
, isto é, se
ou
. Logo não está fechado para escalares arbitrários.
Resposta
O conjunto
não é subespaço de
.