Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Matriz inversa e determinante.
Quais são as propriedades de matrizes inversas?
Quais são as propriedades de matrizes inversas?
Passo 1
O enunciado pede para listar as propriedades principais da matriz inversa, um tópico de Álgebra Linear que envolve definição de inversibilidade, operações com matrizes quadradas e relação com determinantes.
Passo 2
Antes de tudo, lembramos que uma matriz quadrada
de ordem
é dita invertível se existe outra matriz
de mesma ordem tal que
Essa matriz
é chamada de inversa de
e, quando existe, é única. Além disso, um critério prático de existência é
.
Passo 3
A partir da definição, surgem várias consequências algébricas úteis:
Para duas matrizes invertíveis e
de mesma ordem, vale
Para duas matrizes invertíveis
Tomando transposta de uma matriz invertível, temos
Para um escalar
e matriz invertível
,
E, finalmente, a inversa da inversa retorna a matriz original:
Passo 4
Há também propriedades envolvendo determinantes. Se
é invertível, então
Resposta
As propriedades fundamentais de matrizes inversas são:
- Definição e unicidade:
é invertível se existe único com , e isso ocorre exatamente quando . - Produto:
. - Transposta:
. - Escalar:
para . - Inversa da inversa:
. - Determinante:
.