Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Matriz inversa e determinante.
Quais são as propriedades de matrizes inversas?

Passo 1

O enunciado pede para listar as propriedades principais da matriz inversa, um tópico de Álgebra Linear que envolve definição de inversibilidade, operações com matrizes quadradas e relação com determinantes.

Passo 2

Antes de tudo, lembramos que uma matriz quadrada A de ordem n é dita invertível se existe outra matriz B de mesma ordem tal que
AB = BA = In
Essa matriz B é chamada de inversa de A e, quando existe, é única. Além disso, um critério prático de existência é
det(A)neq 0.

Passo 3

A partir da definição, surgem várias consequências algébricas úteis:
Para duas matrizes invertíveis A e B de mesma ordem, vale
(AB)^-1 = B^-1 , A^-1
Tomando transposta de uma matriz invertível, temos
(A^T)^-1 = (A^-1)^T
Para um escalar cneq 0 e matriz invertível A,
(c,A)^-1 = tfrac1c,A^-1
E, finalmente, a inversa da inversa retorna a matriz original:
l(A^-1r)^-1 = A

Passo 4

Há também propriedades envolvendo determinantes. Se A é invertível, então
det(A^-1) ;=; 1det(A)

Resposta

As propriedades fundamentais de matrizes inversas são:
  1. Definição e unicidade: A é invertível se existe único A^-1 com AA^-1=A^-1A=I, e isso ocorre exatamente quando det(A)neq0.
  2. Produto: (AB)^-1=B^-1A^-1.
  3. Transposta: (A^T)^-1=(A^-1)^T.
  4. Escalar: (cA)^-1=tfrac1cA^-1 para cneq0.
  5. Inversa da inversa: l(A^-1r)^-1=A.
  6. Determinante: det(A^-1)=1/det(A).

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