No espaço vetorial R^4 considere os quatro vetores
v1=(c -1 k-2 1 -2 ), v2=(c 3 -k -3 6 ), v3=(c k k-1 -2 4 ), v4=(c -5 k+2 0 -13 )
dependentes do parâmetro real k. Determine os valores de k para os quais os vetores são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^4 que dependem de k e pede para determinar para que valores de k eles são linearmente independentes. Como são quatro vetores em R^4, basta montar a matriz cujas colunas são esses vetores e exigir que seu determinante seja diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz M cujas colunas são v1,v2,v3,v4:
M= -1 & 3 & k & -5 k-2 & -k & k-1 & k+2 1 & -3 & -2 & 0 -2 & 6 & 4 & -13

Passo 3

Para simplificar o cálculo do determinante, fazemos a operação de linha
R3 R3+R1,
obtendo a matriz
M'= -1 & 3 & k & -5 k-2 & -k & k-1 & k+2 0 & 0 & k-2 & -5 -2 & 6 & 4 & -13
Em seguida expandimos det(M') pela terceira linha, que tem apenas duas entradas não-nulas.

Passo 4

Ao expandir pela linha 3, o termo correspondente à coluna 3 envolve o menor
A= -1 & 3 & -5 k-2 & -k & k+2 -2 & 6 & -13
Calcula-se
det(A)=6(k-3)

Passo 5

O outro termo na expansão pela linha 3 envolve o menor
B= -1 & 3 & k k-2 & -k & k-1 -2 & 6 & 4 ,
e tem-se
det(B)=4(k-2)(k-3)

Passo 6

Juntando os dois termos da expansão, obtemos
det(M)= (k-2)cdot6(k-3)+5cdot4(k-2)(k-3) =26,(k-2)(k-3)
Logo det(M)neq0 se, e somente se, (k-2)(k-3)neq0, isto é, kneq2 e kneq3.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes exatamente para kneq2 e kneq3.

Exercícios relacionados